Калькулятор Tiger Algebra

Геометрическая прогрессия, также именуемая геометрическим рядом или геометрической последовательностью, представляет собой ряд чисел, образованный путем умножения каждого предыдущего числа на постоянную величину. Коэффициент, на который умножается каждый последующий член прогрессии, называется знаменателем, поскольку он является общим для всех членов в ряду. Знаменатель не может быть равен $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
Стандартная форма геометрических прогрессий может быть выражена следующим образом:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}$$ где:

• $$a$$ — первый член, который иногда обозначают $$a_1$$.
• $$r$$ — знаменатель прогрессии.

Пример: если первый член прогрессии равен $$1$$, а знаменатель равен $$3$$, тогда каждый последующий член можно вычислить путем умножения предыдущего члена на 3, а сама прогрессия будет выглядеть следующим образом:
$$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$
что также можно записать как:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^{\mathrm{4...}}$$

Формулы
Найти любой член ($$a_n$$) геометрической прогрессии:
$$a_n=a·r^{n-1}$$

• $$a$$ — первый член.
• $$n$$ — положение члена в прогрессии. Например, прогрессия с $$n$$ членами будет записана как:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^{\mathrm{4...}}a·r^{n-1}$$, где последний член возведен в степень $$n-1$$ (потому что первый член возведен в степень $$0$$).
• $$r$$ — знаменатель прогрессии.

Пример: Чтобы найти следующий член в ряду $$1,3,9,27,\mathrm{81...}$$, то есть 6-й член, нам следует подставить это выражение в формулу общего члена, $$a_n=a·r^{n-1}$$:
$$a$$ (первый член)$$=1$$
$$r$$ (знаменатель)$$=3$$
$$n$$ (номер члена)$$=6$$.

Это дает нам $$a_6=1·3^{6-1}$$, в результате чего мы получаем $$a_6=243$$. Таким образом, наша прогрессия выглядит как: $$1,3,9,27,81,\mathrm{243...}$$

Вычисление суммы всех членов геометрической прогрессии:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ — сумма членов последовательности.
• $$a$$ — первый член.
• $$n$$ — положение члена в прогрессии.
• $$r$$ — знаменатель прогрессии.

Пример: Чтобы вычислить сумму $$1,3,9,27,81$$, нам следует подставить это выражение в формулу суммы $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (первый член)$$=1$$
$$r$$ (знаменатель)$$=3$$
$$n$$ (общее количество членов)$$=5$$.

Это дает нам $$s=1\left(\left(1-35\right)/\left(1-3\right)\right)$$, в результате чего мы получаем $$s=121$$.