Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Точная форма:

y_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}

y_1=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}

y_{2} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}

y_2=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{2}}{3}

Десятичная форма:

y_{1} = 1, 138

y_1=1,138

y_{2} = 0, 195

y_2=0,195

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Определите коэффициенты

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $a x^{2} + b x + c = 0$ , чтобы найти коэффициенты:

$9 y^{2} - 12 y + 2 = 0$

$a = 9$
$b = - 12$
$c = 2$

2. Делаем коэффициент a равным 1

Поскольку $a = 9$ , поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $9$ :

$9 y^{2} - 12 y + 2 = 0$

$\frac{9}{9} y^{2} - 12 \frac{y}{9} + \frac{2}{9} = \frac{0}{9}$

Упростить выражение

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{2}{9} = 0$

Коэффициенты:
$a = 1$
$b = - \frac{4}{3}$
$c = \frac{2}{9}$

3. Переместите константу на правую сторону уравнения и объедините

Добавьте $\frac{2}{9}$ к обеим сторонам уравнения:

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{2}{9} = 0$

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = 0 - \frac{2}{9}$

$y^{2} - \frac{4}{3} y = - \frac{2}{9}$

4. Завершите квадрат

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = - \frac{4}{3}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{4}{3}}{2})}^{2}$

Используйте правило дробей с экспонентами ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{4}{3}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{16}{9}}{4}$

$\frac{\frac{16}{9}}{4} = \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{9}$

Добавьте $\frac{4}{9}$ к обеим сторонам уравнения:

2 дополнительных шагов

$y^{2} - \frac{4}{3} y = - \frac{2}{9}$

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{4}{9} = - \frac{2}{9} + \frac{4}{9}$

Объединить дроби:

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{4}{9} = \frac{(- 2 + 4)}{9}$

Объединить числители:

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{4}{3}$

2 дополнительных шагов

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Упростить деление:

$\frac{b}{2} = \frac{- 4}{(3 \cdot 2)}$

Убрать члены:

$\frac{b}{2} = \frac{- 2}{3}$

$y^{2} - \frac{4}{3} y + \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$

${(y - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{9}$

5. Решите уравнение относительно $x$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

${(y - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{9}$

$\sqrt{{(y - \frac{2}{3})}^{2}} = \sqrt{\frac{2}{9}}$

Отмените квадрат и квадратный корень на левой стороне уравнения:

$y - \frac{2}{3} = \pm \sqrt{\frac{2}{9}}$

Добавить $\frac{2}{3}$ по обеим сторонам

$y - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}}$

Упростить левую часть

$y = \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{2}{9}}$

$y = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}}$

$y = \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

$y_{1} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}$
$y_{2} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}$

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В основной своей функции квадратные уравнения определяют формы, такие как круги, эллипсы и параболы. Эти формы в свою очередь могут использоваться для предсказания кривой движущегося объекта, например, мяча, ударенного футболистом или выстреленного из пушки.
На что лучше всего обратить внимание при движении объекта в пространстве, если не на само пространство, с революцией планет вокруг солнца в нашей солнечной системе. Квадратное уравнение использовалось для установления того, что орбиты планет эллиптичны, а не круговые. Возможно определить путь и скорость, с которыми объект перемещается по пространству, даже после его остановки: квадратное уравнение может рассчитать, с какой скоростью двигался автомобиль при столкновении. Имея такую информацию, автомобильная промышленность может разрабатывать тормоза для предотвращения столкновений в будущем. Многие отрасли используют квадратное уравнение для предсказания и, следовательно, улучшения срока службы и безопасности своих продуктов.

Термины и темы

Решение квадратных уравнений путем выделения полного квадрата