Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Точная форма:

t_{1} = - \frac{11}{8} + \frac{\sqrt{89}}{8}

t_1=-\frac{11}{8}+\frac{\sqrt{89}}{8}

t_{2} = - \frac{11}{8} - \frac{\sqrt{89}}{8}

t_2=-\frac{11}{8}-\frac{\sqrt{89}}{8}

Десятичная форма:

t_{1} = - 0, 196

t_1=-0,196

t_{2} = - 2, 554

t_2=-2,554

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Определите коэффициенты

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $a x^{2} + b x + c = 0$ , чтобы найти коэффициенты:

$4 t^{2} + 11 t + 2 = 0$

$a = 4$
$b = 11$
$c = 2$

2. Делаем коэффициент a равным 1

Поскольку $a = 4$ , поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $4$ :

$4 t^{2} + 11 t + 2 = 0$

$\frac{4}{4} t^{2} + 11 \frac{t}{4} + \frac{2}{4} = \frac{0}{4}$

Упростить выражение

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{1}{2} = 0$

Коэффициенты:
$a = 1$
$b = \frac{11}{4}$
$c = \frac{1}{2}$

3. Переместите константу на правую сторону уравнения и объедините

Добавьте $\frac{1}{2}$ к обеим сторонам уравнения:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{1}{2} = 0$

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2}$

$t^{2} + \frac{11}{4} t = - \frac{1}{2}$

4. Завершите квадрат

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = \frac{11}{4}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{11}{4}}{2})}^{2}$

Используйте правило дробей с экспонентами ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{11}{4}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{11}{4})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{11}{4})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{121}{16}}{4}$

$\frac{\frac{121}{16}}{4} = \frac{121}{16} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{121}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{121}{64}$

Добавьте $\frac{121}{64}$ к обеим сторонам уравнения:

5 дополнительных шагов

$t^{2} + \frac{11}{4} t = - \frac{1}{2}$

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = - \frac{1}{2} + \frac{121}{64}$

Найти наименьший общий знаменатель:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{(- 1 \cdot 32)}{(2 \cdot 32)} + \frac{121}{64}$

Умножить знаменатели:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{(- 1 \cdot 32)}{64} + \frac{121}{64}$

Умножить числители:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{- 32}{64} + \frac{121}{64}$

Объединить дроби:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{(- 32 + 121)}{64}$

Объединить числители:

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{89}{64}$

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{11}{4}$

2 дополнительных шагов

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{11}{4}}{2}$

Упростить деление:

$\frac{b}{2} = \frac{11}{(4 \cdot 2)}$

Упростить арифметическое выражение:

$\frac{b}{2} = \frac{11}{8}$

$t^{2} + \frac{11}{4} t + \frac{121}{64} = \frac{89}{64}$

${(t + \frac{11}{8})}^{2} = \frac{89}{64}$

5. Решите уравнение относительно $x$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

${(t + \frac{11}{8})}^{2} = \frac{89}{64}$

$\sqrt{{(t + \frac{11}{8})}^{2}} = \sqrt{\frac{89}{64}}$

Отмените квадрат и квадратный корень на левой стороне уравнения:

$t + \frac{11}{8} = \pm \sqrt{\frac{89}{64}}$

Вычесть \frac{11}{8} с обеих сторон

$t + \frac{11}{8} - \frac{11}{8} = - \frac{11}{8} \pm \sqrt{\frac{89}{64}}$

Упростить левую часть

$t = - \frac{11}{8} \pm \sqrt{\frac{89}{64}}$

$t = - \frac{11}{8} \pm \frac{\sqrt{89}}{\sqrt{64}}$

$t = - \frac{11}{8} \pm \frac{\sqrt{89}}{8}$

$t_{1} = - \frac{11}{8} + \frac{\sqrt{89}}{8}$
$t_{2} = - \frac{11}{8} - \frac{\sqrt{89}}{8}$

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В основной своей функции квадратные уравнения определяют формы, такие как круги, эллипсы и параболы. Эти формы в свою очередь могут использоваться для предсказания кривой движущегося объекта, например, мяча, ударенного футболистом или выстреленного из пушки.
На что лучше всего обратить внимание при движении объекта в пространстве, если не на само пространство, с революцией планет вокруг солнца в нашей солнечной системе. Квадратное уравнение использовалось для установления того, что орбиты планет эллиптичны, а не круговые. Возможно определить путь и скорость, с которыми объект перемещается по пространству, даже после его остановки: квадратное уравнение может рассчитать, с какой скоростью двигался автомобиль при столкновении. Имея такую информацию, автомобильная промышленность может разрабатывать тормоза для предотвращения столкновений в будущем. Многие отрасли используют квадратное уравнение для предсказания и, следовательно, улучшения срока службы и безопасности своих продуктов.

Термины и темы

Решение квадратных уравнений путем выделения полного квадрата