Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Точная форма:

x_{1} = \frac{1}{98} + \frac{\sqrt{1985}}{490}

x_1=\frac{1}{98}+\frac{\sqrt{1985}}{490}

x_{2} = \frac{1}{98} - \frac{\sqrt{1985}}{490}

x_2=\frac{1}{98}-\frac{\sqrt{1985}}{490}

Десятичная форма:

x_{1} = 0, 101

x_1=0,101

x_{2} = - 0, 081

x_2=-0,081

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Определите коэффициенты

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $a x^{2} + b x + c = 0$ , чтобы найти коэффициенты:

$245 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

$a = 245$
$b = - 5$
$c = - 2$

2. Делаем коэффициент a равным 1

Поскольку $a = 245$ , поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $245$ :

$245 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

$\frac{245}{245} x^{2} - 5 \frac{x}{245} - \frac{2}{245} = \frac{0}{245}$

Упростить выражение

$x^{2} - \frac{1}{49} x - \frac{2}{245} = 0$

Коэффициенты:
$a = 1$
$b = - \frac{1}{49}$
$c = - \frac{2}{245}$

3. Переместите константу на правую сторону уравнения и объедините

Добавьте $\frac{2}{245}$ к обеим сторонам уравнения:

$x^{2} - \frac{1}{49} x - \frac{2}{245} = 0$

$x^{2} - \frac{1}{49} x - \frac{2}{245} + \frac{2}{245} = 0 + \frac{2}{245}$

$x^{2} - \frac{1}{49} x = \frac{2}{245}$

4. Завершите квадрат

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = - \frac{1}{49}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{1}{49}}{2})}^{2}$

Используйте правило дробей с экспонентами ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{1}{49}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{1}{49})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{1}{49})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{1}{2401}}{4}$

$\frac{\frac{1}{2401}}{4} = \frac{1}{2401} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2401} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{9604}$

Добавьте $\frac{1}{9604}$ к обеим сторонам уравнения:

5 дополнительных шагов

$x^{2} - \frac{1}{49} x = \frac{2}{245}$

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{2}{245} + \frac{1}{9604}$

Найти наименьший общий знаменатель:

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{(2 \cdot 196)}{(245 \cdot 196)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(9604 \cdot 5)}$

Умножить знаменатели:

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{(2 \cdot 196)}{48020} + \frac{(1 \cdot 5)}{48020}$

Умножить числители:

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{392}{48020} + \frac{5}{48020}$

Объединить дроби:

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{(392 + 5)}{48020}$

Объединить числители:

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{397}{48020}$

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{1}{49}$

2 дополнительных шагов

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{1}{49}}{2}$

Упростить деление:

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{(49 \cdot 2)}$

Упростить арифметическое выражение:

$\frac{b}{2} = \frac{- 1}{98}$

$x^{2} - \frac{1}{49} x + \frac{1}{9604} = \frac{397}{48020}$

${(x - \frac{1}{98})}^{2} = \frac{397}{48020}$

5. Решите уравнение относительно $x$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

${(x - \frac{1}{98})}^{2} = \frac{397}{48020}$

$\sqrt{{(x - \frac{1}{98})}^{2}} = \sqrt{\frac{397}{48020}}$

Отмените квадрат и квадратный корень на левой стороне уравнения:

$x - \frac{1}{98} = \pm \sqrt{\frac{397}{48020}}$

Добавить $\frac{1}{98}$ по обеим сторонам

$x - \frac{1}{98} + \frac{1}{98} = \frac{1}{98} \pm \sqrt{\frac{397}{48020}}$

Упростить левую часть

$x = \frac{1}{98} \pm \sqrt{\frac{397}{48020}}$

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{397}}{\sqrt{48020}}$

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{397} \cdot \sqrt{48020}}{\sqrt{48020} \cdot \sqrt{48020}}$

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{19063940}}{48020}$

Написать простые множители:

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 397}}{48020}$

Сгруппировать простые множители в пары и перезаписать их в экспоненциальном представлении:

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2} \cdot 7^{2} \cdot 397}}{48020}$

Для дальнейшего упрощения использовать правило $\sqrt{(x^{2})} = x$ :

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \sqrt{5 \cdot 397}}{48020}$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{14 \cdot 7 \cdot \sqrt{5 \cdot 397}}{48020}$

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{98 \cdot \sqrt{5 \cdot 397}}{48020}$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{98 \cdot \sqrt{1985}}{48020}$

Упростить дробь

$x = \frac{1}{98} \pm \frac{\sqrt{1985}}{490}$

$x_{1} = \frac{1}{98} + \frac{\sqrt{1985}}{490}$
$x_{2} = \frac{1}{98} - \frac{\sqrt{1985}}{490}$

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В основной своей функции квадратные уравнения определяют формы, такие как круги, эллипсы и параболы. Эти формы в свою очередь могут использоваться для предсказания кривой движущегося объекта, например, мяча, ударенного футболистом или выстреленного из пушки.
На что лучше всего обратить внимание при движении объекта в пространстве, если не на само пространство, с революцией планет вокруг солнца в нашей солнечной системе. Квадратное уравнение использовалось для установления того, что орбиты планет эллиптичны, а не круговые. Возможно определить путь и скорость, с которыми объект перемещается по пространству, даже после его остановки: квадратное уравнение может рассчитать, с какой скоростью двигался автомобиль при столкновении. Имея такую информацию, автомобильная промышленность может разрабатывать тормоза для предотвращения столкновений в будущем. Многие отрасли используют квадратное уравнение для предсказания и, следовательно, улучшения срока службы и безопасности своих продуктов.

Термины и темы

Решение квадратных уравнений путем выделения полного квадрата