Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

Решение - Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

Точная форма:

y_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}

y_1=\frac{3}{4}+\frac{3\cdot\sqrt{265}}{20}

y_{2} = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}

y_2=\frac{3}{4}-\frac{3\cdot\sqrt{265}}{20}

Десятичная форма:

y_{1} = 3, 192

y_1=3,192

y_{2} = - 1, 692

y_2=-1,692

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Определите коэффициенты

Используйте стандартную форму квадратного уравнения, $a x^{2} + b x + c = 0$ , чтобы найти коэффициенты:

$10 y^{2} - 15 y - 54 = 0$

$a = 10$
$b = - 15$
$c = - 54$

2. Делаем коэффициент a равным 1

Поскольку $a = 10$ , поделим все коэффициенты и константы на обеих сторонах уравнения на $10$ :

$10 y^{2} - 15 y - 54 = 0$

$\frac{10}{10} y^{2} - 15 \frac{y}{10} - \frac{54}{10} = \frac{0}{10}$

Упростить выражение

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} = 0$

Коэффициенты:
$a = 1$
$b = - \frac{3}{2}$
$c = - \frac{27}{5}$

3. Переместите константу на правую сторону уравнения и объедините

Добавьте $\frac{27}{5}$ к обеим сторонам уравнения:

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} = 0$

$y^{2} - \frac{3}{2} y - \frac{27}{5} + \frac{27}{5} = 0 + \frac{27}{5}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y = \frac{27}{5}$

4. Завершите квадрат

Чтобы превратить левую сторону уравнения в перфектный квадрат трехчлена, добавьте к уравнению новую константу, равную ${(\frac{b}{2})}^{2}$ :

$b = - \frac{3}{2}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2}$

Используйте правило дробей с экспонентами ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{- \frac{3}{2}}{2})}^{2} = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(- \frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{9}{4}}{4}$

$\frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{16}$

Добавьте $\frac{9}{16}$ к обеим сторонам уравнения:

5 дополнительных шагов

$y^{2} - \frac{3}{2} y = \frac{27}{5}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{27}{5} + \frac{9}{16}$

Найти наименьший общий знаменатель:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(27 \cdot 16)}{(5 \cdot 16)} + \frac{(9 \cdot 5)}{(16 \cdot 5)}$

Умножить знаменатели:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(27 \cdot 16)}{80} + \frac{(9 \cdot 5)}{80}$

Умножить числители:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{432}{80} + \frac{45}{80}$

Объединить дроби:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{(432 + 45)}{80}$

Объединить числители:

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{477}{80}$

Теперь у нас есть идеальный квадрат трехчлена, мы можем записать его в виде идеальной квадратной форме, прибавив половину коэффициента $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = - \frac{3}{2}$

2 дополнительных шагов

$\frac{b}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Упростить деление:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{(2 \cdot 2)}$

Упростить арифметическое выражение:

$\frac{b}{2} = \frac{- 3}{4}$

$y^{2} - \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} = \frac{477}{80}$

${(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{477}{80}$

5. Решите уравнение относительно $x$

Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения: ВАЖНО: При нахождении квадратного корня из константы мы получаем два решения: положительное и отрицательное

${(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{477}{80}$

$\sqrt{{(y - \frac{3}{4})}^{2}} = \sqrt{\frac{477}{80}}$

Отмените квадрат и квадратный корень на левой стороне уравнения:

$y - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

Добавить $\frac{3}{4}$ по обеим сторонам

$y - \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

Упростить левую часть

$y = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{477}{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{477}}{\sqrt{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{477} \cdot \sqrt{80}}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{80}}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{38160}}{80}$

Написать простые множители:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53}}{80}$

Сгруппировать простые множители в пары и перезаписать их в экспоненциальном представлении:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 53}}{80}$

Для дальнейшего упрощения использовать правило $\sqrt{(x^{2})} = x$ :

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{12 \cdot \sqrt{5 \cdot 53}}{80}$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{12 \cdot \sqrt{265}}{80}$

Упростить дробь

$y = \frac{3}{4} \pm \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$

$y_{1} = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$
$y_{2} = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot \sqrt{265}}{20}$

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В основной своей функции квадратные уравнения определяют формы, такие как круги, эллипсы и параболы. Эти формы в свою очередь могут использоваться для предсказания кривой движущегося объекта, например, мяча, ударенного футболистом или выстреленного из пушки.
На что лучше всего обратить внимание при движении объекта в пространстве, если не на само пространство, с революцией планет вокруг солнца в нашей солнечной системе. Квадратное уравнение использовалось для установления того, что орбиты планет эллиптичны, а не круговые. Возможно определить путь и скорость, с которыми объект перемещается по пространству, даже после его остановки: квадратное уравнение может рассчитать, с какой скоростью двигался автомобиль при столкновении. Имея такую информацию, автомобильная промышленность может разрабатывать тормоза для предотвращения столкновений в будущем. Многие отрасли используют квадратное уравнение для предсказания и, следовательно, улучшения срока службы и безопасности своих продуктов.

Термины и темы

Решение квадратных уравнений путем выделения полного квадрата