Решение - Свойства эллипсов

$$h$$ представляет собой смещение по оси x от начала.
$$k$$ представляет собой смещение по оси y от начала.
Чтобы найти значение $$h$$ и $$k$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Центр: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большей оси.
Это называется полу-главной осью.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$
$$a^2=\frac{64}{9}$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=2,667$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе, главная ось параллельна оси y и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, прибавив и вычтя $$a$$ от y-координаты ($$k$$) центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к координате y ($$k$$) центра:
Вершина_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=2.667$$
Вершина_1: $$\left(0,0+2.667\right)$$
Вершина_1: $$\left(0;2.667\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из координаты y ($$k$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=2,667$$
Вершина_2: $$\left(0,0-2,667\right)$$
Вершина_2: $$\left(0;-2,667\right)$$

$$b$$ представляет собой меньший радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полу-малой оси.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$
$$b^2=\frac{64}{81}$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=0,889$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В вертикальном эллипсе меньшая ось проходит параллельно оси x и проходит через ко-вершины эллипса.
Найдите ко-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра.

Чтобы найти ко-вершину_1, добавьте $$b$$ к x-координате ($$h$$) центра:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,889$$
Co-vertex_1: $$\left(0+0,889,0\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0,889;0\right)$$

Чтобы найти ко-вершину_2, вычтите $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0,889$$
Co-vertex_2: $$\left(0-0,889,0\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-0,889;0\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокусной точки, обычно обозначаемой $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{64}{9}$$
$$b^2=\frac{64}{81}$$
Вставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{64}{81}}$$

$$f=\sqrt{\frac{512}{81}}$$

$$f=2,514$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе большая ось проходит параллельно оси y и чеpез фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2,514$$
Фокус_1: $$\left(0,0+2,514\right)$$
Фокус_1: $$\left(0;2,514\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(0;0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=2,514$$
Фокус_2: $$\left(0,0-2,514\right)$$
Фокус_2: $$\left(0;-2,514\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=2,667$$
$$b=0,889$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·2,667·0,889$$

$$\pi ·2,371$$

Площадь равна $$2,371\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{0^2}{\frac{64}{9}}=1$$

$$x_1=\frac{8}{9}$$

$$x_2=-\frac{8}{9}$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{x^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{64}{81}}+\frac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$$

$$y_1=\frac{8}{3}$$

$$y_2=-\frac{8}{3}$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{64}{9}$$
$$b^2=\frac{64}{81}$$
$$a=2,667$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{\frac{64}{9}-\frac{64}{81}}}{2,667}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{512}{81}}}{2,667}$$

$$\frac{2,514}{2,667}$$

$$0,943$$

Эксцентриситет равен $$0,943$$