Решение - Свойства эллипсов

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большей оси.
Это называется полу-главной осью.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=8$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе, главная ось параллельна оси y и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, прибавив и вычтя $$a$$ от y-координаты ($$k$$) центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к координате y ($$k$$) центра:
Вершина_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Вершина_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Вершина_1: $$\left(3;7\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из координаты y ($$k$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Вершина_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Вершина_2: $$\left(3;-9\right)$$

$$b$$ представляет собой меньший радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полу-малой оси.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=4$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В вертикальном эллипсе меньшая ось проходит параллельно оси x и проходит через ко-вершины эллипса.
Найдите ко-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра.

Чтобы найти ко-вершину_1, добавьте $$b$$ к x-координате ($$h$$) центра:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertex_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(7;-1\right)$$

Чтобы найти ко-вершину_2, вычтите $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertex_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-1;-1\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокусной точки, обычно обозначаемой $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
Вставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6,928$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе большая ось проходит параллельно оси y и чеpез фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Фокус_1: $$\left(3,-1+6,928\right)$$
Фокус_1: $$\left(3;5,928\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Фокус_2: $$\left(3,-1-6,928\right)$$
Фокус_2: $$\left(3;-7,928\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=4$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

Площадь равна $$32\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6,969$$

$$x_2=-0,969$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4,292$$

$$y_2=-6,292$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
$$a=8$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6,928}{8}$$

$$0,866$$

Эксцентриситет равен $$0,866$$