Решение - Свойства эллипсов

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большой оси. Это называется полуосью мажор.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму эллипса горизонтально:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=64$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=8$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В горизонтальном эллипсе, главная ось параллельна оси x и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, добавив и вычтя $$a$$ от x-координаты $$\left(h\right)$$ центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к x-координате $$\left(h\right)$$ центра:
Вершина_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Вершина_1: $$\left(1+8,-4\right)$$
Вершина_1: $$\left(9;-4\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Вершина_2: $$\left(1-8,-4\right)$$
Вершина_2: $$\left(-7;-4\right)$$

$$b$$ представляет собой более короткий радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полуосью минор.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму эллипса горизонтально:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=49$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=7$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В горизонтальной эллипсе, меньшая ось идет параллельно оси у и проходит через со-вершины эллипса.
Найдите со-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти со-вершину_1, добавьте $$b$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Со-вершина_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
Со-вершина_1: $$\left(1,-4+7\right)$$
Со-вершина_1: $$\left(1;3\right)$$

Чтобы найти со-вершину_2, вычтите $$b$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Со-вершина_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
Со-вершина_2: $$\left(1,-4-7\right)$$
Со-вершина_2: $$\left(1;-11\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокальной точки и обычно обозначается как $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
Подставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{64-49}$$

$$f=\sqrt{15}$$

$$f=3,873$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В горизонтальной эллипсе, главная ось идет параллельно оси х и через фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из x-координаты $$\left(h\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к x-координате $$\left(h\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3,873$$
Фокус_1: $$\left(1+3,873,-4\right)$$
Фокус_1: $$\left(4,873;-4\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из x-координаты $$\left(h\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(1;-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3,873$$
Фокус_2: $$\left(1-3,873,-4\right)$$
Фокус_2: $$\left(-2,873;-4\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=7$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·8·7$$

$$\pi ·56$$

Площадь равна $$56\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=7,565$$

$$x_2=-5,565$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=2,945$$

$$y_2=-10,945$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
$$a=8$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{64-49}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{15}}{8}$$

$$\frac{3,873}{8}$$

$$0,484$$

Эксцентриситет равен $$0,484$$