Решение - Свойства эллипсов

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большой оси. Это называется полуосью мажор.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму эллипса горизонтально:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$a^2=20$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=4,472$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В горизонтальном эллипсе, главная ось параллельна оси x и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, добавив и вычтя $$a$$ от x-координаты $$\left(h\right)$$ центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к x-координате $$\left(h\right)$$ центра:
Вершина_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Вершина_1: $$\left(-4+4.472,-2\right)$$
Вершина_1: $$\left(0.472;-2\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Вершина_2: $$\left(-4-4.472,-2\right)$$
Вершина_2: $$\left(-8.472;-2\right)$$

$$b$$ представляет собой более короткий радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полуосью минор.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму эллипса горизонтально:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$b^2=10$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=3,162$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В горизонтальной эллипсе, меньшая ось идет параллельно оси у и проходит через со-вершины эллипса.
Найдите со-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти со-вершину_1, добавьте $$b$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Со-вершина_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Со-вершина_1: $$\left(-4,-2+3,162\right)$$
Со-вершина_1: $$\left(-4;1,162\right)$$

Чтобы найти со-вершину_2, вычтите $$b$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Со-вершина_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3,162$$
Со-вершина_2: $$\left(-4,-2-3,162\right)$$
Со-вершина_2: $$\left(-4;-5,162\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокальной точки и обычно обозначается как $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
Подставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{20-10}$$

$$f=\sqrt{10}$$

$$f=3,162$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В горизонтальной эллипсе, главная ось идет параллельно оси х и через фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из x-координаты $$\left(h\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к x-координате $$\left(h\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Фокус_1: $$\left(-4+3,162,-2\right)$$
Фокус_1: $$\left(-0,838;-2\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из x-координаты $$\left(h\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-4;-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3,162$$
Фокус_2: $$\left(-4-3,162,-2\right)$$
Фокус_2: $$\left(-7,162;-2\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=4,472$$
$$b=3,162$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·4,472·3,162$$

$$\pi ·14,14$$

Площадь равна $$14,14\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{10}=1$$

$$x_1=-0,536$$

$$x_2=-7,464$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(0+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$y_1=-0,586$$

$$y_2=-3,414$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
$$a=4,472$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{20-10}}{4,472}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{4,472}$$

$$\frac{3,162}{4,472}$$

$$0,707$$

Эксцентриситет равен $$0,707$$