Решение - Свойства эллипсов

$$a$$ представляет собой более длинный радиус эллипса, который равен половине большей оси.
Это называется полу-главной осью.
Чтобы найти значение $$a$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{25}=1$$
$$a^2=25$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$a=5$$

Поскольку $$a$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе, главная ось параллельна оси y и проходит через вершины эллипса. Найдите вершины, прибавив и вычтя $$a$$ от y-координаты ($$k$$) центра.

Чтобы найти вершину_1, добавьте $$a$$ к координате y ($$k$$) центра:
Вершина_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2,4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$a=5$$
Вершина_1: $$\left(-2,4+5\right)$$
Вершина_1: $$\left(-2;9\right)$$

Чтобы найти вершину_2, вычтите $$a$$ из координаты y ($$k$$) центра:
Вершина_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2;4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$a=5$$
Вершина_2: $$\left(-2,4-5\right)$$
Вершина_2: $$\left(-2;-1\right)$$

$$b$$ представляет собой меньший радиус эллипса, который равен половине меньшей оси. Это называется полу-малой оси.
Чтобы найти значение $$b$$, используйте стандартную форму вертикального эллипса:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{25}=1$$
$$b^2=16$$
Возьмите квадратный корень с обеих сторон уравнения:
$$b=4$$
Поскольку b представляет собой расстояние, оно имеет только положительное значение.

В вертикальном эллипсе меньшая ось проходит параллельно оси x и проходит через ко-вершины эллипса.
Найдите ко-вершины, добавив и вычитая $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра.

Чтобы найти ко-вершину_1, добавьте $$b$$ к x-координате ($$h$$) центра:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2;4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$b=4$$
Co-vertex_1: $$\left(-2+4,4\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(2;4\right)$$

Чтобы найти ко-вершину_2, вычтите $$b$$ из x-координаты ($$h$$) центра:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2;4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$b=4$$
Co-vertex_2: $$\left(-2-4,4\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-6;4\right)$$

Фокусное расстояние - это расстояние от центра эллипса до каждой фокусной точки, обычно обозначаемой $$f$$.

Чтобы найти $$f$$, используйте формулу:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=16$$
Вставьте $$a^2$$ и $$b^2$$ в формулу и упростите:

$$f=\sqrt{25-16}$$

$$f=\sqrt{9}$$

$$f=3$$

Поскольку $$f$$ представляет собой расстояние, его значение может быть только положительным.

В вертикальном эллипсе большая ось проходит параллельно оси y и чеpез фокусы.
Найдите фокусы, добавив и вычтя $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра.

Чтобы найти фокус_1, добавьте $$f$$ к y-координате $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2;4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$f=3$$
Фокус_1: $$\left(-2,4+3\right)$$
Фокус_1: $$\left(-2;7\right)$$

Чтобы найти фокус_2, вычтите $$f$$ из y-координаты $$\left(k\right)$$ центра:
Фокус_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Центр: $$\left(h,k\right)=\left(-2;4\right)$$
$$h=-2$$
$$k=4$$
$$f=3$$
Фокус_2: $$\left(-2,4-3\right)$$
Фокус_2: $$\left(-2;1\right)$$

Используйте формулу для нахождения площади эллипса, чтобы найти площадь эллипса:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5$$
$$b=4$$
Подставьте $$a$$ и $$b$$ в формулу и упростите:

$$\pi ·5·4$$

$$\pi ·20$$

Площадь равна $$20\pi$$

Чтобы найти x-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$y$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$x$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0-4\right)}^2}{25}=1$$

$$x_1=\frac{2}{5}$$

$$x_2=-\frac{22}{5}$$

Чтобы найти y-пересечение(я), подставьте $$0$$ вместо $$x$$ в стандартное уравнение эллипса и решите полученное квадратное уравнение для $$y$$.
Нажмите здесь, чтобы посмотреть пошаговое объяснение квадратного уравнения.

$$\frac{{\left(x+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(0+2\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y-4\right)}^2}{25}=1$$

$$y_1=8,33$$

$$y_2=-0,33$$

Чтобы найти эксцентриситет, используйте формулу:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=16$$
$$a=5$$
Подставьте $$a^2$$ , $$b^2$$ и $$a$$ в формулу:

$$\frac{\sqrt{25-16}}{5}$$

$$\frac{\sqrt{9}}{5}$$

$$\frac{3}{5}$$

$$\frac{3}{5}$$

Эксцентриситет равен $$0,6$$