Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Решение:

k < - 0, 414 or k > 2, 414

k<-0,414 or k>2,414

Запись интервала:

k \in (- \infty, - 0, 414) ⋃ (2, 414, \infty)

k∈(-∞,-0,414)⋃(2,414,∞)

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

6 дополнительных шагов

$k^{2} + 2 k + 1 < 2 k^{2}$

Вычесть 1 с обеих сторон:

$(k^{2} + 2 k + 1) - 2 k^{2} < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Сгруппировать подобные члены:

$(k^{2} - 2 k^{2}) + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Упростить арифметическое выражение:

$- k^{2} + 2 k + 1 < (2 k^{2}) - 2 k^{2}$

Упростить арифметическое выражение:

$- k^{2} + 2 k + 1 < 0$

Вычесть 1 с обеих сторон:

$(- k^{2} + 2 k + 1) - 1 < 0 - 1$

Упростить арифметическое выражение:

$- k^{2} + 2 k < 0 - 1$

Упростить арифметическое выражение:

$- k^{2} + 2 k < - 1$

Упростить квадратное неравенство до стандартного вида

$a k^{2} + b k + c < 0$

Добавить $- 1$ по обеим сторонам уравнения.

$- 1 k^{2} + 2 k < - 1$

Добавить $- 1$ по обеим сторонам уравнения.

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < - 1 + 1$

Упростить выражение

$- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

Коэффициенты нашего неравенства, $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ , являются следующими:

$a$ = -1

$b$ = 2

$c$ = 1

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

Квадратическая формула предлагает решение для $a k^{2} + b k + c < 0$ , где $a$ , $b$ и $c$ являются числами (или коэффициентами), следующим образом:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 1$
$b = 2$
$c = 1$

$k = (- 2 \pm s q r t (2^{2} - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Упростить показатели степени и квадратные корни:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - 4 * - 1 * 1)) / (2 * - 1)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4 * 1)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (4 - - 4)) / (2 * - 1)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k = (- 2 \pm s q r t (4 + 4)) / (2 * - 1)$

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (2 * - 1)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

чтобы получить результат:

$k = (- 2 \pm s q r t (8)) / (- 2)$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(8)}$

Упростить $8$ , найдя простые множители.

Древовидное представление простых множителей для <math>8</math>:

Разложение $8$ на простые множители выглядит так: $2^{3}$

Написать простые множители:

$\sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2}$

Сгруппировать простые множители в пары и перезаписать их в экспоненциальном представлении:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Для дальнейшего упрощения использовать правило $\sqrt{(x^{2})} = x$ :

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{2}$

5. Решить уравнение для k

$k = (- 2 \pm 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

Знак ± означает, что возможны два корня:

Разделить уравнения: $k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$ и $k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

Удалите скобки

$k_{1} = (- 2 + 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{1} = (- 2 + 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k_{1} = (- 2 + 2, 828) / (- 2)$

$k_{1} = (0, 828) / (- 2)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{1} = 0, \frac{828}{-} 2$

$k_{1} = - 0, 414$

$k_{2} = (- 2 - 2 * s q r t (2)) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{2} = (- 2 - 2 * 1, 414) / (- 2)$

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k_{2} = (- 2 - 2, 828) / (- 2)$

$k_{2} = (- 4, 828) / (- 2)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{2} = - 4, \frac{828}{-} 2$

$k_{2} = 2, 414$

6. Найти интервалы

Чтобы найти интервалы квадратного неравенства, мы сначала найдем его параболу.

Корни параболы (в точке пересечения оси x): -0,414, 2,414.

Поскольку коэффициент $a$ отрицательный ( $a$ =-1), это «отрицательное» квадратичное неравенство, а парабола направлена вниз, напоминая нахмуренную бровь!

Если знак неравенства ≤ или ≥, то интервалы включают корни, и мы используем сплошную линию. Если знак неравенства < или >, то интервалы не включают корни, и мы используем пунктирную линию.

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Поскольку $- 1 k^{2} + 2 k + 1 < 0$ имеет знак неравенства $<$ , мы ищем интервалы параболы под осью x.

Решение:

Запись интервала:

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В то время как квадратные уравнения выражают траекторию дуги и точки вдоль нее, квадратные неравенства выражают площадь внутри и за пределами дуги, а также охватываемые диапазоны. Другими словами, если квадратные уравнения показывают границу, то квадратные неравенства помогают понять, на что обратить внимание относительно этой границы. Если посмотреть с практической точки зрения, квадратные неравенства используются для создания сложных алгоритмов, обеспечивающих работу мощных компьютерных программ, и отслеживания изменений (например, цен в магазине) во времени.

Термины и темы

Квадратные неравенства

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства a, b и c

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

4. Упростить квадратный корень (8)

5. Решить уравнение для k

6. Найти интервалы

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Зачем это учить

Термины и темы

Связанные ссылки

Последние похожие решëнные задачи

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(8)}$