Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Решение:

k < - 6 or k > 4

k<-6 or k>4

Запись интервала:

k \in (- \infty, - 6) ⋃ (4, \infty)

k∈(-∞,-6)⋃(4,∞)

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

8 дополнительных шагов

$64 - (4 \cdot (k^{2} + 2 k - 8)) < 0$

Раскрыть скобки:

$64 - (4 k^{2} + 4 \cdot 2 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Умножить коэффициенты:

$64 - (4 k^{2} + 8 k + 4 \cdot - 8) < 0$

Упростить арифметическое выражение:

$64 - (4 k^{2} + 8 k - 32) < 0$

Раскрыть скобки:

$64 - 4 k^{2} - 8 k + 32 < 0$

Сгруппировать подобные члены:

$- 4 k^{2} - 8 k + (64 + 32) < 0$

Упростить арифметическое выражение:

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

Вычесть 96 с обеих сторон:

$(- 4 k^{2} - 8 k + 96) - 96 < 0 - 96$

Упростить арифметическое выражение:

$- 4 k^{2} - 8 k < 0 - 96$

Упростить арифметическое выражение:

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Упростить квадратное неравенство до стандартного вида

$a k^{2} + b k + c < 0$

Добавить $- 96$ по обеим сторонам уравнения.

$- 4 k^{2} - 8 k < - 96$

Добавить $- 96$ по обеим сторонам уравнения.

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < - 96 + 96$

Упростить выражение

$- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

Коэффициенты нашего неравенства, $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ , являются следующими:

$a$ = -4

$b$ = -8

$c$ = 96

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

Квадратическая формула предлагает решение для $a k^{2} + b k + c < 0$ , где $a$ , $b$ и $c$ являются числами (или коэффициентами), следующим образом:

$k = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = - 4$
$b = - 8$
$c = 96$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (- 8^{2} - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Упростить показатели степени и квадратные корни:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - 4 * - 4 * 96)) / (2 * - 4)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 16 * 96)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 - - 1536)) / (2 * - 4)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (64 + 1536)) / (2 * - 4)$

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (2 * - 4)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k = (- 1 * - 8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

чтобы получить результат:

$k = (8 \pm s q r t (1600)) / (- 8)$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(1600)}$

Упростить $1600$ , найдя простые множители.

Древовидное представление простых множителей для <math>1600</math>:

Разложение $1600$ на простые множители выглядит так: $2^{6} \cdot 5^{2}$

Написать простые множители:

$\sqrt{1600} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$

Сгруппировать простые множители в пары и перезаписать их в экспоненциальном представлении:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}}$

Для дальнейшего упрощения использовать правило $\sqrt{(x^{2})} = x$ :

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 4 \cdot 2 \cdot 5$

$4 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 5$

$8 \cdot 5 = 40$

5. Решить уравнение для k

$k = (8 \pm 40) / (- 8)$

Знак ± означает, что возможны два корня:

Разделить уравнения: $k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$ и $k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k_{1} = (8 + 40) / (- 8)$

$k_{1} = (48) / (- 8)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{1} = \frac{48}{-} 8$

$k_{1} = - 6$

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$k_{2} = (8 - 40) / (- 8)$

$k_{2} = (- 32) / (- 8)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$k_{2} = - \frac{32}{-} 8$

$k_{2} = 4$

6. Найти интервалы

Чтобы найти интервалы квадратного неравенства, мы сначала найдем его параболу.

Корни параболы (в точке пересечения оси x): -6, 4.

Поскольку коэффициент $a$ отрицательный ( $a$ =-4), это «отрицательное» квадратичное неравенство, а парабола направлена вниз, напоминая нахмуренную бровь!

Если знак неравенства ≤ или ≥, то интервалы включают корни, и мы используем сплошную линию. Если знак неравенства < или >, то интервалы не включают корни, и мы используем пунктирную линию.

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Поскольку $- 4 k^{2} - 8 k + 96 < 0$ имеет знак неравенства $<$ , мы ищем интервалы параболы под осью x.

Решение:

Запись интервала:

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В то время как квадратные уравнения выражают траекторию дуги и точки вдоль нее, квадратные неравенства выражают площадь внутри и за пределами дуги, а также охватываемые диапазоны. Другими словами, если квадратные уравнения показывают границу, то квадратные неравенства помогают понять, на что обратить внимание относительно этой границы. Если посмотреть с практической точки зрения, квадратные неравенства используются для создания сложных алгоритмов, обеспечивающих работу мощных компьютерных программ, и отслеживания изменений (например, цен в магазине) во времени.

Термины и темы

Квадратные неравенства

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства a, b и c

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

4. Упростить квадратный корень (1600)

5. Решить уравнение для k

6. Найти интервалы

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Зачем это учить

Термины и темы

Связанные ссылки

Последние похожие решëнные задачи

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(1600)}$