Введи уравнение или задачу

Подключенная камера не распознана!

|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Решение:

2 < x < 4

2<x<4

Запись интервала:

x \in (2; 4)

x∈(2;4)

Показать шаги

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

18 дополнительных шагов

$(3 x - 7) \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Раскрыть скобки:

$3 x \cdot (3 x - 7) - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Раскрыть скобки:

$3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Сгруппировать подобные члены:

$(3 \cdot 3) \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Умножить коэффициенты:

$9 \cdot (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Упростить арифметическое выражение:

$9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Сгруппировать подобные члены:

$9 x^{2} + (3 \cdot - 7) x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Умножить коэффициенты:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot (3 x - 7) < 2 x^{2} - 7$

Раскрыть скобки:

$9 x^{2} - 21 x - 7 \cdot 3 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Умножить коэффициенты:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7 < 2 x^{2} - 7$

Упростить арифметическое выражение:

$9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Объединить подобные члены:

$9 x^{2} - 42 x + 49 < 2 x^{2} - 7$

Вычесть 49 с обеих сторон:

$(9 x^{2} - 42 x + 49) - 2 x^{2} < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Сгруппировать подобные члены:

$(9 x^{2} - 2 x^{2}) - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Упростить арифметическое выражение:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 7) - 2 x^{2}$

Сгруппировать подобные члены:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < (2 x^{2} - 2 x^{2}) - 7$

Упростить арифметическое выражение:

$7 x^{2} - 42 x + 49 < - 7$

Вычесть 49 с обеих сторон:

$(7 x^{2} - 42 x + 49) - 49 < - 7 - 49$

Упростить арифметическое выражение:

$7 x^{2} - 42 x < - 7 - 49$

Упростить арифметическое выражение:

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Упростить квадратное неравенство до стандартного вида

$a x^{2} + b x + c < 0$

Добавить $- 56$ по обеим сторонам уравнения.

$7 x^{2} - 42 x < - 56$

Добавить $- 56$ по обеим сторонам уравнения.

$7 x^{2} - 42 x + 56 < - 56 + 56$

Упростить выражение

$7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

Коэффициенты нашего неравенства, $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ , являются следующими:

$a$ = 7

$b$ = -42

$c$ = 56

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

Квадратическая формула предлагает решение для $a x^{2} + b x + c < 0$ , где $a$ , $b$ и $c$ являются числами (или коэффициентами), следующим образом:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 7$
$b = - 42$
$c = 56$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (- 42^{2} - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Упростить показатели степени и квадратные корни:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 4 * 7 * 56)) / (2 * 7)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 28 * 56)) / (2 * 7)$

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (1764 - 1568)) / (2 * 7)$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (2 * 7)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x = (- 1 * - 42 \pm s q r t (196)) / (14)$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

чтобы получить результат:

$x = (42 \pm s q r t (196)) / 14$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(196)}$

Упростить $196$ , найдя простые множители.

Древовидное представление простых множителей для <math>196</math>:

Разложение $196$ на простые множители выглядит так: $2^{2} \cdot 7^{2}$

Написать простые множители:

$\sqrt{196} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}$

Сгруппировать простые множители в пары и перезаписать их в экспоненциальном представлении:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}}$

Для дальнейшего упрощения использовать правило $\sqrt{(x^{2})} = x$ :

$\sqrt{2^{2} \cdot 7^{2}} = 2 \cdot 7$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$2 \cdot 7 = 14$

5. Решить уравнение для x

$x = (42 \pm 14) / 14$

Знак ± означает, что возможны два корня:

Разделить уравнения: $x_{1} = (42 + 14) / 14$ и $x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$x_{1} = (42 + 14) / 14$

$x_{1} = (56) / 14$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x_{1} = \frac{56}{14}$

$x_{1} = 4$

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

Выполнить любое сложение или вычитание слева направо:

$x_{2} = (42 - 14) / 14$

$x_{2} = (28) / 14$

Выполнить любое умножение или деление слева направо:

$x_{2} = \frac{28}{14}$

$x_{2} = 2$

6. Найти интервалы

Чтобы найти интервалы квадратного неравенства, мы сначала найдем его параболу.

Корни параболы (в точке пересечения оси x): 2, 4.

Поскольку коэффициент $a$ положительный ( $a$ =7), это «положительное» квадратичное неравенство, а парабола направлена вверх, напоминая улыбку!

Если знак неравенства ≤ или ≥, то интервалы включают корни, и мы используем сплошную линию. Если знак неравенства < или >, то интервалы не включают корни, и мы используем пунктирную линию.

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Поскольку $7 x^{2} - 42 x + 56 < 0$ имеет знак неравенства $<$ , мы ищем интервалы параболы под осью x.

Решение:

Запись интервала:

Как у нас получилось?

Оставь нам отзыв

Зачем это учить

В то время как квадратные уравнения выражают траекторию дуги и точки вдоль нее, квадратные неравенства выражают площадь внутри и за пределами дуги, а также охватываемые диапазоны. Другими словами, если квадратные уравнения показывают границу, то квадратные неравенства помогают понять, на что обратить внимание относительно этой границы. Если посмотреть с практической точки зрения, квадратные неравенства используются для создания сложных алгоритмов, обеспечивающих работу мощных компьютерных программ, и отслеживания изменений (например, цен в магазине) во времени.

Термины и темы

Квадратные неравенства

Решение - Решение квадратных неравенств по квадратической формуле

Пошаговое объяснение

1. Упростить выражение

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства a, b и c

3. Подставить эти коэффициенты в квадратическую формулу

4. Упростить квадратный корень (196)

5. Решить уравнение для x

6. Найти интервалы

7. Выбрать правильный интервал (решение)

Зачем это учить

Термины и темы

Связанные ссылки

Последние похожие решëнные задачи

2. Определить коэффициенты квадратного неравенства $a$ , $b$ и $c$

4. Упростить квадратный корень $\sqrt{(196)}$