Calculatorul de algebră Tiger

O secvență geometrică, cunoscută și sub numele de serie geometrică sau progresie geometrică, este un set de numere format prin înmulțirea fiecărui număr anterior din set cu o constantă. Factorul cu care fiecare termen succesiv este înmulțit se numește raport comun, deoarece este comun tuturor termenilor din set. Raportul comun nu poate fi egal cu $$0$$ $$\left(r\ne 0\right)$$.
Forma standard a secvențelor geometrice poate fi exprimată ca:
$$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...$$ în care:

• $$a$$ reprezintă primul termen și uneori este scris ca $$a_1$$.
• $$r$$ reprezintă raportul comun.

Exemplu: dacă primul termen al secvenței este $$1$$ și raportul comun este $$3$$, atunci fiecare termen succesiv poate fi obținut prin înmulțirea termenului anterior cu 3 și secvența va arăta așa:
$$1,3,9,27,81...$$
care poate fi de asemenea scrisă ca:
$$1,1·3,1·3^2,1·3^3,1·3^4...$$

Formule
Găsirea oricărui termen ($$a_n$$) într-o secvență geometrică:
$$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$

• $$a$$ reprezintă primul termen.
• $$n$$ reprezintă poziția unui termen în secvență. O secvență cu $$n$$ număr de termeni, de exemplu, ar fi scrisă ca:
  $$a,a·r,a·r^2,a·r^3,a·r^4...a·r^{\left(n-1\right)}$$ în care ultimul termen este ridicat la puterea $$n-1$$ (deoarece primul termen este ridicat la puterea $$0$$).
• $$r$$ reprezintă raportul comun.

Exemplu: Pentru a găsi termenul următor în $$1,3,9,27,81...$$ care ar fi al 6-lea termen, am introduce următorul în formula termenului general, $$a_n=a·r^{\left(n-1\right)}$$:
$$a$$ (primul termen)$$=1$$
$$r$$ (raportul comun)$$=3$$
$$n$$ (numărul termenului)$$=6$$.

Astfel am obține $$a_6=1·3^{\left(6-1\right)}$$, pe care l-am putea rezolva pentru a obține $$a_6=243$$. Deci, secvența noastră ar fi: $$1,3,9,27,81,243...$$

Găsirea sumei tuturor termenilor într-o secvență geometrică:
$$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$

• $$s$$ este suma termenilor în secvență.
• $$a$$ reprezintă primul termen.
• $$n$$ reprezintă poziția unui termen în secvență.
• $$r$$ reprezintă raportul comun.

Exemplu: Pentru a găsi suma $$1,3,9,27,81$$ am introduce următorul în formula sumei, $$s=a\left(\left(1-r^n\right)/\left(1-r\right)\right)$$:
$$a$$ (primul termen)$$=1$$
$$r$$ (raportul comun)$$=3$$
$$n$$ (numărul total de termeni)$$=5$$.

Astfel am obține $$s=1\left(\left(1-35\right)/\left(1-3\right)\right)$$, pe care l-am putea rezolva pentru a obține $$s=121$$.