Calculatorul de algebră Tiger

Proprietățile elipselor

O elipsă este setul tuturor punctelor de pe un plan al căror distanțe de la două puncte fixe, numite puncte de focalizare sau foci, se adaugă la o valoare constantă care este egală cu lungimea axei majore a elipsei.

De exemplu, să spunem că avem o axă majoră care este de

12

unități. Focii elipsei se află întotdeauna pe axa majoră. Elipsa în sine ar fi formată de linii imaginare din ambele foci la același punct de pe elipsă, astfel încât lungimile lor totale să fie egale cu

12

, lungimea axei majore. Lungimile liniilor ar putea fi

6

și

6

4

și

8

1.5

și

10.5

, sau literalmente orice combinație de numere raționale pozitive care se adaugă la

12

, din care există un număr infinit.
definition

Forma standard

Forma standard a unei elipse orizontale: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Forma standard a unei elipse verticale: $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Notă: Ecuatia în formă standard a unei elipse este formată din două fracții, în care

a^{2}

este mărețul celor doi numitori și

b^{2}

este cel mic al celor doi numitori. Forma standard a unei elipse necesită ca partea dreaptă a ecuației să fie egală cu

1

Puncte

Centrul $(h, k)$ : Punctul în centrul unei elipse. $h$ reprezintă coordonata x și $k$ reprezintă coordonata y.
Vertexuri: Intersecțiile axei majore cu elipsa.
Co-vertices: Intersecțiile axei minore cu elipsa.

Linii, segmente de linie și axe

Axa majoră $(2 a)$ : cea mai lungă dintre cele două axe care formează o elipsă. Se întinde de la o parte a elipsei, prin centrul său, către cealaltă parte a elipsei la punctul său cel mai larg.
Axa minoră $(2 b)$ : cea mai scurtă dintre cele două axe care formează o elipsă. Rulează perpendicular pe axa majoră, de la o parte a elipsei, prin centrul său, până la cealaltă parte a elipsei.
Semi-axa majoră $(a)$ : jumătate din lungimea axei majore.
Semi-axa minoră $(b)$ : jumătate din lungimea axei minore.
Lungimea focală $(f)$ : distanța de la centrul unei elipse la unul dintre focii săi. $f = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Parametrul focal $(p)$ : distanța de la un focus la directrixul corespunzător. $p = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Directrix: Două linii în afara elipsei care rulează perpendicular pe axa majoră și sunt folosite în conjuncție cu focii pentru a defini elipsa.
Într-o elipsă orizontală: $x = h \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Într-o elipsă verticală: $y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ .
Latus rectum: Segmentele de linie care rulează perpendicular pe axa majoră, prin foci, astfel încât punctele lor terminale să fie pe elipsă. Lungimile lor sunt egal cu $\frac{2 \cdot b^{2}}{a}$ .

Alte proprietăți

Aria: $π \cdot a \cdot b$
Excentricitatea $(e)$ : O măsură a cât de alungită este o elipsă, definită prin următorul raport: 1. Distanța de la centrul la fiecare focus la 2. Distanța de la centrul la fiecare vertex: $\frac{\sqrt{(a^{2} - b^{2})}}{a}$
Excentricitatea unei elipse este întotdeauna între $0$ și $1 (0 < e < 1)$ .

Ultimele exerciții conexe soluționate

1 »