Calculatorul de algebră Tiger

O fracție reprezintă o parte mai mică dintr-un întreg și este de obicei scrisă ca un numărător, care reprezintă partea mai mică, scrisă peste un numitor, care reprezintă întregul. Pentru a exprima fracția ca un singur număr, câtul, împărțim numărătorul la numitor.
Există trei tipuri principale de fracții:

• Fracțiile proprii

  Numărătorul este mai mic decât numitorul. $$\frac{1}{4}$$ este o fracție proprie.



• Fracțiile improprii

  Numărătorul este mai mare decât numitorul. $$\frac{5}{4}$$ este o fracție improprie.



• Fracțiile mixte

  Un număr întreg combinat cu o fracție proprie. $$2\frac{3}{4}$$ este o fracție mixtă.

Este important de observat că fracțiile improprii și cele mixte pot fi utilizate pentru a exprima aceleași valori. De exemplu: $$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$.
Când facem operații cu fracții, este de obicei mai ușor să convertim mai întâi orice întregi și/sau fracții mixte în fracții improprii:

• Pentru a converti un întreg într-o fracție improprie, pur și simplu plasăm întregul peste $$1$$. De exemplu, $$3$$ ar deveni $$\frac{3}{1}$$.
• Pentru a converti o fracție mixtă într-o fracție improprie, înmulțim numitorul (numărul de jos) cu numărul întreg (numărul din față sau la stânga fracției), adăugăm produsul la numărător (numărul de sus), și scriem suma peste numitorul original. De exemplu, în transformarea $$2\frac{3}{4}$$ într-o fracție improprie, am înmulți numitorul, $$4$$ cu numărul întreg, $$2$$, pentru a obține $$8$$. Apoi am adăuga acesta la numărător, $$3$$, pentru a obține $$11$$, pe care am plasa-l peste numitorul original, $$4$$, pentru a obține $$\frac{11}{4}$$.

Adăugarea și scăderea fracțiilor

Regula generală pentru adăugarea fracțiilor este: $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$$
Regula generală pentru scăderea fracțiilor este: $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}$$
Există 4 pași pentru adăugarea și scăderea fracțiilor:

1. Simplificați fracțiile prin reducerea lor, dacă este posibil. Împărțiți numărătorul (numărul de sus) și numitorul (numărul de jos) la cel mai mare factor comun (cmmdc). Cmmdc-ul unui set de numere este cel mai mare număr care poate împărți uniform toate numerele din set fără să rămână rest. De exemplu, $$3$$ este cel mai mare număr prin care $$3$$ și $$9$$ pot fi împărțite uniform, deci putem împărți numărătorul și numitorul $$\frac{3}{9}$$ la $$3$$ pentru a-l reduce la $$\frac{1}{3}$$. Un alt exemplu este $$\frac{4}{16}$$, care ar reduce la $$\frac{1}{4}$$.


2. Găsiți numitorul comun al fracțiilor. Există două modalități de a găsi numitorul comun:
   1. Înmulțiți numărul de sus și de jos al fiecărei fracții cu numitorul celeilalte fracții. De exemplu, $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1·4}{3·4}+\frac{1·3}{4·3}=\frac{1·4}{12}+\frac{1·3}{12}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$
   2. Găsiți cel mai mic numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsim cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al numitorilor și îl folosim ca numitor comun. Există două moduri de a găsi cmmmc: listarea multiplilor numerelor (soluționator în curând!) și prin factorizare primă.


3. Adăugați sau scădeți numărătoarele. La acest punct, fracțiile ar trebui să aibă același numitor, ceea ce înseamnă că putem pur și simplu adăuga sau scădea numărătoarele și să scriem rezultatul peste numitorul pe care l-am găsit în pașii anteriori. De exemplu, $$\frac{4}{12}+\frac{3}{12}$$ ar deveni $$\frac{7}{12}$$.


4. Simplificați fracția rezultată prin reducere, dacă este posibil, așa cum este descris mai sus în pasul 1. Dacă rezultatul a fost $$\frac{4}{8}$$, de exemplu, am reduce la $$\frac{1}{2}$$.

Înmulțirea fracțiilor

Regula generală pentru înmulțirea fracțiilor este: $$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$$
Există 4 pași pentru înmulțirea fracțiilor:

1. Simplificați fracțiile prin reducerea lor, dacă este posibil. Împărțiți numărătorul (numărul de sus) și numitorul (numărul de jos) la cel mai mare factor comun (cmmdc). Cmmdc-ul unui set de numere este cel mai mare număr care poate împărți uniform toate numerele din set fără să rămână rest. De exemplu, $$3$$ este cel mai mare număr prin care $$3$$ și $$9$$ pot fi împărțite uniform, deci putem împărți numărătorul și numitorul $$\frac{3}{9}$$ la $$3$$ pentru a-l reduce la $$\frac{1}{3}$$. Un alt exemplu este $$\frac{4}{16}$$, care ar reduce la $$\frac{1}{4}$$.


2. Înmulțiți numărătoarele (numerele de sus). De exemplu, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ ar deveni $$\frac{6}{3·5}$$


3. Înmulțiți numitorii (numerele de jos). De exemplu, $$\frac{6}{3·5}$$ ar deveni $$\frac{6}{15}$$.


4. Simplificați fracția rezultată prin reducere, dacă este posibil, așa cum este descris mai sus în pasul 1. Dacă rezultatul a fost $$\frac{4}{8}$$, de exemplu, am reduce la $$\frac{1}{2}$$.

Împărțirea fracțiilor

Împărțirea fracțiilor este foarte similară cu înmulțirea fracțiilor dar include un pas suplimentar, în care schimbăm numărătorul cu numitorul pe divizor - numărul prin care vom împărți cealaltă fracție - pentru a-i găsi inversul. De aici pur și simplu înmulțim fracțiile împreună.

Regula generală pentru împărțirea fracțiilor este: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$$
Există 5 pași pentru împărțirea fracțiilor:

1. Simplificați fracțiile prin reducerea lor, dacă este posibil. Împărțiți numărătorul (numărul de sus) și numitorul (numărul de jos) la cel mai mare factor comun (cmmdc). Cmmdc-ul unui set de numere este cel mai mare număr care poate împărți uniform toate numerele din set fără să rămână rest. De exemplu, $$3$$ este cel mai mare număr prin care $$3$$ și $$9$$ pot fi împărțite uniform, deci putem împărți numărătorul și numitorul $$\frac{3}{9}$$ la $$3$$ pentru a-l reduce la $$\frac{1}{3}$$. Un alt exemplu este $$\frac{4}{16}$$, care ar reduce la $$\frac{1}{4}$$.


2. Întoarcem fracția prin care împărțim (divizorul) astfel încât numărătorul să fie în partea de jos și numitorul în partea de sus. De exemplu, $$\frac{3}{4}:\frac{1}{3}$$ ar deveni $$\frac{3}{4}·\frac{3}{1}$$.
   
3. Înmulțiți numărătoarele (numerele de sus). De exemplu, $$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}$$ ar deveni $$\frac{6}{3·5}$$


4. Înmulțiți numitorii (numerele de jos). De exemplu, $$\frac{6}{3·5}$$ ar deveni $$\frac{6}{15}$$.


5. Simplificați fracția rezultată prin reducere, dacă este posibil, așa cum este descris mai sus în pasul 1. Dacă rezultatul a fost $$\frac{4}{8}$$, de exemplu, am reduce la $$\frac{1}{2}$$.