Calculatorul de algebră Tiger

Valoare absolută

Valoarea absolută (uneori numită modul sau magnitudine) este distanța dintre un număr, termen, polinom sau expresie și zero, indiferent dacă este pozitiv sau negativ. De exemplu: $$4$$ și $$-4$$ sunt la aceeași distanță de $$0$$, așa că ambele au o valoare absolută de $$4$$.


Valoarea absolută este reprezentată de două bare, una de fiecare parte a numărului, termenului, polinomului sau expresiei. De exemplu, valoarea absolută a $$-4$$ ar fi scrisă ca $$|-4|$$

Proprietăți ale valorii absolute

• Non-negativitate: $$\left|x\right|\ge 0$$
  Valoarea absolută este întotdeauna non-negativă, ceea ce înseamnă că ea întotdeauna produce zero sau un pozitiv.


• $$\left|x\right|=\sqrt{x^2}$$: Pătratul unui număr îl face pozitiv (sau zero dacă numărul este zero), iar prin luarea rădăcinii pătrate a unui număr pătrat obținem o soluție pozitivă (sau zero dacă numărul este zero). Acest lucru funcționează numai atunci când $$x$$ este un număr real.


• Multiplicativitate: $$|x·y|=\left|x\right|·\left|y\right|$$
  Valoarea absolută a produsului a doi numere este egală cu produsul valorii absolute a fiecărui număr.


• Subaditivitate: $$|x+y|\le \left|x\right|+\left|y\right|$$
  Valoarea absolută a sumei a două numere reale este mai mică sau egală cu suma valorilor absolute ale celor două numere.


• $$\left|x\right|=y\to x=\pm y$$ sau $$\left|x\right|=\pm x$$: Dacă valoarea absolută a $$x$$ este egală cu $$y$$ atunci $$x$$ este egal cu plus sau minus $$y$$. Această regulă este utilizată pentru rezolvarea majorității problemelor de valoare absolută.

Ecuații cu valoare absolută

Ecuațiile cu valoare absolută sunt ecuațiile în care variabila se află într-un operator de valoare absolută.
De exemplu: $$|x-4|=10$$
Deoarece valoarea lui $$x-4$$ poate fi $$10$$ sau $$-10$$, ambele având o valoare absolută de $$10$$, trebuie să avem în vedere ambele cazuri: $$x-4=10$$ și $$x-4=-10$$. Acest lucru poate fi de asemenea scris ca $$x-4=\pm 10$$.

Așadar, $$|x-4|=10$$ are două soluții:
$$x-4=10$$ → $$x=14$$
$$x-4=-10$$ → $$x=-6$$

Deoarece valorile absolute sunt întotdeauna non-negative, este posibil să avem ecuații fără soluții.
De exemplu: $$|x-5|=-9$$

Ecuațiile și inegalitățile de valoare absolută sunt rezolvate și explicate pas cu pas de modulul de valoare absolută a Tiger Algebra.