Calculatorul de algebră Tiger

O combinație este un mod de aranjare a elementelor dintr-un set când ordinea aranjării nu contează. Un exemplu ar fi alegerea a trei numere aleatorii dintr-o listă de nouă. Nu ar conta dacă ați ales $$1$$ apoi $$7$$ apoi $$4$$ sau dacă ați ales $$7$$ apoi $$1$$ apoi $$4$$.
O permutare este un mod de aranjare a elementelor dintr-un set când ordinea aranjării contează. Un exemplu de acest lucru ar fi codul unui lacăt. Dacă codul este $$1,7,4$$ atunci nu poate fi introdus ca $$1,4,7$$ sau $$4,7,1$$ sau în altă ordine.
Atâta timp cât există mai mult de un articul în set, vor exista întotdeauna mai multe permutări decât combinații.

Atât combinațiile cât și permutările pot apărea cu sau fără repetiție, însemnând că fie conțin unul sau mai multe articole de mai multe ori, fie nu. Deși acest lucru nu pare că ar face o mare diferență, repetarea articolelor dintr-un set schimbă destul de mult modul în care ar trebui să ne apropiem de acesta.

Notații
$$n$$ reprezintă de obicei numărul total de articole dintr-un set.
$$k$$ reprezintă de obicei numărul de articole dintr-un subset selectat.
$$C$$ reprezintă de obicei combinațiile.
$$P$$ reprezintă de obicei permutările.

$$P\left(n,k\right)$$ reprezintă numărul de diferite permutări ale unui subset ($$k$$) dintr-un set mai mare ($$n$$) și poate fi de asemenea notat ca:
IMAGINE LIPSEȘTE
$$C\left(n,k\right)$$ reprezintă numărul de diferite combinații ale unui subset ($$k$$) dintr-un set mai mare ($$n$$) și poate fi de asemenea notat ca:
IMAGINE LIPSEȘTE
Această notație este uneori numită și "n alege k".

Formule
Folosim funcția factorială atunci când rezolvăm permutări și combinații.

Permutări cu repetiție
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
Exemplu: Câte permutări diferite ale unui subset de $$3$$ dintr-un total de $$9$$ elemente există atunci când pot avea loc repetiții?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutări fără repetiție
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
Exemplu: Câte permutări diferite ale unui subset de $$3$$ dintr-un total de $$9$$ elemente există atunci când nu pot avea loc repetiții?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Combinații cu repetiție
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
Exemplu: Câte combinații diferite ale unui subset de $$3$$ dintr-un total de $$9$$ există atunci când pot avea loc repetiții?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Combinații fără repetiție link către acest exercițiu
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
Exemplu: Câte combinații diferite ale unui subset de $$3$$ dintr-un total de $$9$$ există atunci când nu pot avea loc repetiții?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$