Introduceți o ecuație sau problemă

Inputul camerei nu este recunoscut!

Soluție - Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin completarea pătratului

Forma exactă:

a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}

a_1=-\frac{21}{32}+\frac{\sqrt{249}}{32}

a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}

a_2=-\frac{21}{32}-\frac{\sqrt{249}}{32}

Forma decimală:

a_{1} = - 0, 163

a_1=-0,163

a_{2} = - 1, 149

a_2=-1,149

Vezi pașii

Explicații pas cu pas

1. Mutati toți termenii pe partea stângă a ecuației

$16 a^{2} + 21 a + 9 = 6$

Scadeți -6 din ambele părți:

$16 a^{2} + 21 a + 9 - 6 = 6 - 6$

Simplificați expresia

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

2. Identificați coeficienții

Folosiți forma standard a unei ecuații pătratice, $a x^{2} + b x + c = 0$ , pentru a găsi coeficienții:

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$a = 16$
$b = 21$
$c = 3$

3. Faceți coeficientul a egal cu 1

Deoarece $a = 16$ , împărțiți toți coeficienții și constantele pe ambele părți ale ecuației cu $16$ :

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$\frac{16}{16} a^{2} + 21 \frac{a}{16} + \frac{3}{16} = \frac{0}{16}$

Simplificați expresia

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

Coefficienții sunt:
$a = 1$
$b = \frac{21}{16}$
$c = \frac{3}{16}$

4. Mutați constanta pe partea dreaptă a ecuației și combinați

Adăugați $\frac{3}{16}$ pe ambele laturi ale ecuației:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0 - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

5. Completați pătratul

Pentru a transforma partea stângă a ecuației într-un trinom patratic perfect, adăugați o nouă constantă egală cu ${(\frac{b}{2})}^{2}$ la ecuație:

$b = \frac{21}{16}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2}$

Utilizați regula fracției exponentului ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{441}{256}}{4}$

$\frac{\frac{441}{256}}{4} = \frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{441}{1024}$

Adăugați $\frac{441}{1024}$ pe ambele laturi ale ecuației:

5 pasi suplimentari steps

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = - \frac{3}{16} + \frac{441}{1024}$

Găsește cel mai mic numitor comun:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{(16 \cdot 64)} + \frac{441}{1024}$

Multiplică numitorii:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{1024} + \frac{441}{1024}$

Multiplică numărătorii:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{- 192}{1024} + \frac{441}{1024}$

Combină fracțiile:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 192 + 441)}{1024}$

Combină numărătorii:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

Acum avem trinom pătratic perfect, îl putem scrie sub forma pătrat perfect prin adăugarea a jumătate din coeficientul $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{21}{16}$

2 pasi suplimentari steps

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{21}{16}}{2}$

Simplifică împărțirea:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{(16 \cdot 2)}$

Simplifică aritmetica:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{32}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

6. Rezolvați pentru $x$

Luați rădăcină pătrată pe ambele laturi ale ecuației: IMPORTANT: Când găsim rădăcina pătrată a unei constante, obținem două soluții: pozitivă și negativă

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

$\sqrt{{(a + \frac{21}{32})}^{2}} = \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Anulați pătratul și rădăcina pătrată pe partea stângă a ecuației:

$a + \frac{21}{32} = \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Scădeţi $\frac{21}{32}$ de la ambele părţi

$a + \frac{21}{32} - \frac{21}{32} = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Simplifică partea stângă:

$a = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{\sqrt{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{32}$

$a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}$
$a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}$

Cum ne-am descurcat?

Vă rugăm să ne lăsați feedback.

De ce să învăț asta

La nivelul functiilor lor cele mai de bază, ecuațiile pătratice definesc forme precum cercurile, elipsele și parabolele. Aceste forme pot la rândul lor fi utilizate pentru a prezice curba unui obiect în mișcare, cum ar fi o minge șutată de un jucător de fotbal sau trasă dintr-un tun.
Când vine vorba de mișcarea unui obiect prin spațiu, ce loc mai bun de pornit decât însuși spațiul, cu revoluția planetelor în jurul soarelui în sistemul nostru solar. Ecuația pătratică a fost utilizată pentru a stabili că orbitele planetelor sunt eliptice, nu circulare. Determinarea traiectoriei și vitezei cu care un obiect se deplasează prin spațiu este posibilă chiar și după ce acesta s-a oprit: ecuația pătratică poate calcula cât de repede se mișca un vehicul atunci când s-a produs un accident. Cu informații de acest gen, industria auto poate concepe frâne pentru a preveni coliziunile în viitor. Multe industrii utilizează ecuația pătratică pentru a anticipa și astfel pentru a-și îmbunătăți durata de viață și siguranța produselor lor.

Termeni și teme

Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin completarea pătratului