Soluție - Proprietățile elipselor

$$h$$ reprezintă decalajul pe x de la origine.
$$k$$ reprezintă decalajul pe y de la origine.
Pentru a găsi valorile $$h$$ și $$k$$, folosiți formula standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$
$$h=0$$
$$k=0$$
Centru: $$\left(0,0\right)$$

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa majoră. Acesta se numește axă semi-majoră.
Pentru a găsi valoarea $$a$$, folosiți formula standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$
$$a^2=\frac{1}{9}$$
Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătrat:
$$a=0,333$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră se extinde paralel cu axa x și trece prin verticele elipsei. Găsiți verticele adăugând și scăzând $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi vârful_1, adăugați $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=0.333$$
Vârf_1: $$\left(0+0.333,0\right)$$
Vârf_1: $$\left(0.333,0\right)$$

Pentru a găsi vârful_2, scădeți $$a$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$a=0.333$$
Vârf_2: $$\left(0-0.333,0\right)$$
Vârf_2: $$\left(-0.333,0\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa minoră. Acest lucru se numește semi-axa minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, utilizați forma standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$
$$b^2=\frac{1}{12}$$
Luați radicalul ambelor părți ale ecuației:
$$b=0,289$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa minoră rulează paralel cu axa y și trece prin co-vertebrele elipsei.
Găsiți co-vertebrele prin adăugare și scădere $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi co_vârful_1, adăugați $$b$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0.289$$
Co-vârf_1: $$\left(0,0+0.289\right)$$
Co-vârf_1: $$\left(0,0.289\right)$$

Pentru a găsi co-vârful_2, scădeți $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$b=0.289$$
Co-vârf_2: $$\left(0,0-0.289\right)$$
Co-vârf_2: $$\left(0,-0.289\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, utilizați formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=\frac{1}{9}$$
$$b^2=\frac{1}{12}$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formulă și simplificați:

$$f=\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{12}}$$

$$f=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

$$f=0,167$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră rulează paralel cu axa x și prin focile.
Găsiți focii adăugând și scăzând $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a afla focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=0.167$$
Focus_1: $$\left(0+0.167,0\right)$$
Focus_1: $$\left(0.167,0\right)$$

Pentru a afla focus_2, scadeți $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(0,0\right)$$
$$h=0$$
$$k=0$$
$$f=0.167$$
Focus_2: $$\left(0-0.167,0\right)$$
Focus_2: $$\left(-0.167,0\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=0,333$$
$$b=0,289$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·0,333·0,289$$

$$\pi ·0,096$$

Aria este egală cu $$0,096\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{0^2}{\frac{1}{12}}=1$$

$$x_1=\frac{1}{3}$$

$$x_2=-\frac{1}{3}$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{x^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$

$$\frac{0^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}=1$$

$$y_1=0,289$$

$$y_2=-0,289$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=\frac{1}{9}$$
$$b^2=\frac{1}{12}$$
$$a=0,333$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{12}}}{0,333}$$

$$\frac{\sqrt{\frac{1}{36}}}{0,333}$$

$$\frac{\frac{1}{6}}{0,333}$$

$$\frac{500}{999}$$

Excentricitatea este egală cu $$0,502$$