Soluție - Proprietățile elipselor

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa majoră. Acesta se numește axă semi-majoră.
Pentru a găsi valoarea $$a$$, folosiți formula standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$
$$a^2=25$$
Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătrat:
$$a=5$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră se extinde paralel cu axa x și trece prin verticele elipsei. Găsiți verticele adăugând și scăzând $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi vârful_1, adăugați $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$a=5$$
Vârf_1: $$\left(3+5,-4\right)$$
Vârf_1: $$\left(8,-4\right)$$

Pentru a găsi vârful_2, scădeți $$a$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$a=5$$
Vârf_2: $$\left(3-5,-4\right)$$
Vârf_2: $$\left(-2,-4\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa minoră. Acest lucru se numește semi-axa minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, utilizați forma standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$
$$b^2=4$$
Luați radicalul ambelor părți ale ecuației:
$$b=2$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa minoră rulează paralel cu axa y și trece prin co-vertebrele elipsei.
Găsiți co-vertebrele prin adăugare și scădere $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi co_vârful_1, adăugați $$b$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$b=2$$
Co-vârf_1: $$\left(3,-4+2\right)$$
Co-vârf_1: $$\left(3,-2\right)$$

Pentru a găsi co-vârful_2, scădeți $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$b=2$$
Co-vârf_2: $$\left(3,-4-2\right)$$
Co-vârf_2: $$\left(3,-6\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, utilizați formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=4$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formulă și simplificați:

$$f=\sqrt{25-4}$$

$$f=\sqrt{21}$$

$$f=4,583$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră rulează paralel cu axa x și prin focile.
Găsiți focii adăugând și scăzând $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a afla focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$f=4.583$$
Focus_1: $$\left(3+4.583,-4\right)$$
Focus_1: $$\left(7.583,-4\right)$$

Pentru a afla focus_2, scadeți $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(3,-4\right)$$
$$h=3$$
$$k=-4$$
$$f=4.583$$
Focus_2: $$\left(3-4.583,-4\right)$$
Focus_2: $$\left(-1.583,-4\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=5$$
$$b=2$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·5·2$$

$$\pi ·10$$

Aria este egală cu $$10\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\sqrt{\left(-3\right)}$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{4}=1$$

$$y_1=-\frac{12}{5}$$

$$y_2=-\frac{28}{5}$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=25$$
$$b^2=4$$
$$a=5$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{25-4}}{5}$$

$$\frac{\sqrt{21}}{5}$$

$$\frac{4,583}{5}$$

$$0,917$$

Excentricitatea este egală cu $$0,917$$