Soluție - Proprietățile elipselor

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa majoră. Acesta se numește axă semi-majoră.
Pentru a găsi valoarea $$a$$, folosiți formula standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=64$$
Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătrat:
$$a=8$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră se extinde paralel cu axa x și trece prin verticele elipsei. Găsiți verticele adăugând și scăzând $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi vârful_1, adăugați $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Vârf_1: $$\left(1+8,-4\right)$$
Vârf_1: $$\left(9,-4\right)$$

Pentru a găsi vârful_2, scădeți $$a$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$a=8$$
Vârf_2: $$\left(1-8,-4\right)$$
Vârf_2: $$\left(-7,-4\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa minoră. Acest lucru se numește semi-axa minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, utilizați forma standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=49$$
Luați radicalul ambelor părți ale ecuației:
$$b=7$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa minoră rulează paralel cu axa y și trece prin co-vertebrele elipsei.
Găsiți co-vertebrele prin adăugare și scădere $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi co_vârful_1, adăugați $$b$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
Co-vârf_1: $$\left(1,-4+7\right)$$
Co-vârf_1: $$\left(1,3\right)$$

Pentru a găsi co-vârful_2, scădeți $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$b=7$$
Co-vârf_2: $$\left(1,-4-7\right)$$
Co-vârf_2: $$\left(1,-11\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, utilizați formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formulă și simplificați:

$$f=\sqrt{64-49}$$

$$f=\sqrt{15}$$

$$f=3,873$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră rulează paralel cu axa x și prin focile.
Găsiți focii adăugând și scăzând $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a afla focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
Focus_1: $$\left(1+3.873,-4\right)$$
Focus_1: $$\left(4.873,-4\right)$$

Pentru a afla focus_2, scadeți $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-4\right)$$
$$h=1$$
$$k=-4$$
$$f=3.873$$
Focus_2: $$\left(1-3.873,-4\right)$$
Focus_2: $$\left(-2.873,-4\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=7$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·8·7$$

$$\pi ·56$$

Aria este egală cu $$56\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(0+4\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=7,565$$

$$x_2=-5,565$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+4\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=2,945$$

$$y_2=-10,945$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=49$$
$$a=8$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{64-49}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{15}}{8}$$

$$\frac{3,873}{8}$$

$$0,484$$

Excentricitatea este egală cu $$0,484$$