Soluție - Proprietățile elipselor

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa mare.
Aceasta este numită axa semi-mare.
Pentru a găsi valoarea lui $$a$$, folosește forma standard a elipsei verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$
$$a^2=9$$
Ia rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației:
$$a=3$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, acesta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa majoră rulează paralel cu axa y și trece prin vârfurile elipsei. Găsește vârfurile adăugând și scăzând $$a$$ din coordonata y ($$k$$) a centrului.

Pentru a găsi vertex_1, adaugă $$a$$ la coordonata y ($$k$$) a centrului:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=3$$
Vertex_1: $$\left(1,-2+3\right)$$
Vertex_1: $$\left(1,1\right)$$

Pentru a găsi vertex_2, scade $$a$$ din coordonata y ($$k$$) a centrului:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$a=3$$
Vertex_2: $$\left(1,-2-3\right)$$
Vertex_2: $$\left(1,-5\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătatea axei minoritare. Acesta este numit axa semi-minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, folosește forma standard de elipsă verticală:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$
$$b^2=4$$
Ia rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației:
$$b=2$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa minoră rulează paralel cu axa x și trece prin co-vertex-urile elipsei.
Găsiți co-vertex-urile adăugând și scăzând $$b$$ din coordonata x ($$h$$) a centrului.

Pentru a găsi co-vertex_1, adăugați $$b$$ la coordonata x ($$h$$) a centrului:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
Co-vertex_1: $$\left(1+2,-2\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(3,-2\right)$$

Pentru a găsi co-vertex_2, scade $$b$$ din coordonata x ($$h$$) a centrului:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$b=2$$
Co-vertex_2: $$\left(1-2,-2\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-1,-2\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, folosește formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formular și simplificați:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2,236$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa majoră se extinde paralel cu axa y și printr-un focus.
Identificați focalii adăugând și scăzând $$f$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=2.236$$
Focus_1: $$\left(1,-2+2.236\right)$$
Focus_1: $$\left(1,0.236\right)$$

Pentru a găsi focus_2, scădeți $$f$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(1,-2\right)$$
$$h=1$$
$$k=-2$$
$$f=2.236$$
Focus_2: $$\left(1,-2-2.236\right)$$
Focus_2: $$\left(1,-4.236\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

Aria este egală cu $$6\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{9}=1$$

$$x_1=2,491$$

$$x_2=-0,491$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(0-1\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{9}=1$$

$$y_1=0,598$$

$$y_2=-4,598$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2,236}{3}$$

$$0,745$$

Excentricitatea este egală cu $$0,745$$