Soluție - Proprietățile elipselor

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa mare.
Aceasta este numită axa semi-mare.
Pentru a găsi valoarea lui $$a$$, folosește forma standard a elipsei verticale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$a^2=49$$
Ia rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației:
$$a=7$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, acesta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa majoră rulează paralel cu axa y și trece prin vârfurile elipsei. Găsește vârfurile adăugând și scăzând $$a$$ din coordonata y ($$k$$) a centrului.

Pentru a găsi vertex_1, adaugă $$a$$ la coordonata y ($$k$$) a centrului:
Vertex_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_1: $$\left(-5,3+7\right)$$
Vertex_1: $$\left(-5,10\right)$$

Pentru a găsi vertex_2, scade $$a$$ din coordonata y ($$k$$) a centrului:
Vertex_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$a=7$$
Vertex_2: $$\left(-5,3-7\right)$$
Vertex_2: $$\left(-5,-4\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătatea axei minoritare. Acesta este numit axa semi-minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, folosește forma standard de elipsă verticală:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$
$$b^2=25$$
Ia rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației:
$$b=5$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa minoră rulează paralel cu axa x și trece prin co-vertex-urile elipsei.
Găsiți co-vertex-urile adăugând și scăzând $$b$$ din coordonata x ($$h$$) a centrului.

Pentru a găsi co-vertex_1, adăugați $$b$$ la coordonata x ($$h$$) a centrului:
Co-vertex_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$b=5$$
Co-vertex_1: $$\left(-5+5,3\right)$$
Co-vertex_1: $$\left(0,3\right)$$

Pentru a găsi co-vertex_2, scade $$b$$ din coordonata x ($$h$$) a centrului:
Co-vertex_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$b=5$$
Co-vertex_2: $$\left(-5-5,3\right)$$
Co-vertex_2: $$\left(-10,3\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, folosește formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formular și simplificați:

$$f=\sqrt{49-25}$$

$$f=\sqrt{24}$$

$$f=4,899$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă verticală, axa majoră se extinde paralel cu axa y și printr-un focus.
Identificați focalii adăugând și scăzând $$f$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
Focus_1: $$\left(-5,3+4.899\right)$$
Focus_1: $$\left(-5,7.899\right)$$

Pentru a găsi focus_2, scădeți $$f$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-5,3\right)$$
$$h=-5$$
$$k=3$$
$$f=4.899$$
Focus_2: $$\left(-5,3-4.899\right)$$
Focus_2: $$\left(-5,-1.899\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=7$$
$$b=5$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·7·5$$

$$\pi ·35$$

Aria este egală cu $$35\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(0-3\right)}^2}{49}=1$$

$$x_1=-0,482$$

$$x_2=-9,518$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$\frac{{\left(0+5\right)}^2}{25}+\frac{{\left(y-3\right)}^2}{49}=1$$

$$y_1=3$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=49$$
$$b^2=25$$
$$a=7$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{49-25}}{7}$$

$$\frac{\sqrt{24}}{7}$$

$$\frac{4,899}{7}$$

$$0,7$$

Excentricitatea este egală cu $$0,7$$