Soluție - Proprietățile elipselor

$$a$$ reprezintă raza mai lungă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa majoră. Acesta se numește axă semi-majoră.
Pentru a găsi valoarea $$a$$, folosiți formula standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$a^2=20$$
Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătrat:
$$a=4,472$$

Deoarece $$a$$ reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră se extinde paralel cu axa x și trece prin verticele elipsei. Găsiți verticele adăugând și scăzând $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi vârful_1, adăugați $$a$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vârf_1: $$\left(-4+4.472,-2\right)$$
Vârf_1: $$\left(0.472,-2\right)$$

Pentru a găsi vârful_2, scădeți $$a$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Vârf_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$a=4.472$$
Vârf_2: $$\left(-4-4.472,-2\right)$$
Vârf_2: $$\left(-8.472,-2\right)$$

$$b$$ reprezintă raza mai scurtă a elipsei, care este egală cu jumătate din axa minoră. Acest lucru se numește semi-axa minoră.
Pentru a găsi valoarea lui $$b$$, utilizați forma standard a elipsei orizontale:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$
$$b^2=10$$
Luați radicalul ambelor părți ale ecuației:
$$b=3,162$$
Deoarece b reprezintă o distanță, aceasta are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa minoră rulează paralel cu axa y și trece prin co-vertebrele elipsei.
Găsiți co-vertebrele prin adăugare și scădere $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului.

Pentru a găsi co_vârful_1, adăugați $$b$$ la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3.162$$
Co-vârf_1: $$\left(-4,-2+3.162\right)$$
Co-vârf_1: $$\left(-4,1.162\right)$$

Pentru a găsi co-vârful_2, scădeți $$b$$ de la coordonata y $$\left(k\right)$$ a centrului:
Co-vârf_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$b=3.162$$
Co-vârf_2: $$\left(-4,-2-3.162\right)$$
Co-vârf_2: $$\left(-4,-5.162\right)$$

Lungimea focală este distanța de la centrul elipsei la fiecare punct focal și este de obicei reprezentată de $$f$$.

Pentru a găsi $$f$$, utilizați formula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
Introduceți $$a^2$$ și $$b^2$$ în formulă și simplificați:

$$f=\sqrt{20-10}$$

$$f=\sqrt{10}$$

$$f=3,162$$

Deoarece $$f$$ reprezintă o distanță, are doar o valoare pozitivă.

Într-o elipsă orizontală, axa majoră rulează paralel cu axa x și prin focile.
Găsiți focii adăugând și scăzând $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului.

Pentru a afla focus_1, adăugați $$f$$ la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3.162$$
Focus_1: $$\left(-4+3.162,-2\right)$$
Focus_1: $$\left(-0.838,-2\right)$$

Pentru a afla focus_2, scadeți $$f$$ de la coordonata x $$\left(h\right)$$ a centrului:
Focus_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centru: $$\left(h,k\right)=\left(-4,-2\right)$$
$$h=-4$$
$$k=-2$$
$$f=3.162$$
Focus_2: $$\left(-4-3.162,-2\right)$$
Focus_2: $$\left(-7.162,-2\right)$$

Utilizați formula pentru aria unei elipse pentru a găsi aria elipsei:
$$\pi ·a·b$$
$$a=4,472$$
$$b=3,162$$
Introduceți $$a$$ și $$b$$ în formulă și simplificați:

$$\pi ·4,472·3,162$$

$$\pi ·14,14$$

Aria este egală cu $$14,14\pi$$

Pentru a afla interceptarea x-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$y$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$x$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{10}=1$$

$$x_1=-0,536$$

$$x_2=-7,464$$

Pentru a afla interceptarea y-urilor, introduceți $$0$$ pentru $$x$$ în ecuația standard a elipsei și rezolvați ecuația pătratică rezultată pentru $$y$$.
Click aici pentru o explicație pas cu pas a ecuației pătratice.

$$\frac{{\left(x+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$\frac{{\left(0+4\right)}^2}{20}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{10}=1$$

$$y_1=-0,586$$

$$y_2=-3,414$$

Pentru a afla excentricitatea, utilizați formula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=20$$
$$b^2=10$$
$$a=4,472$$
Introduceți $$a^2$$ , $$b^2$$ și $$a$$ în formulă:

$$\frac{\sqrt{20-10}}{4,472}$$

$$\frac{\sqrt{10}}{4,472}$$

$$\frac{3,162}{4,472}$$

$$0,707$$

Excentricitatea este egală cu $$0,707$$