Calculadora Tiger Algebra
Sistemas de equações lineares
Equações lineares
Uma equação linear é uma equação que representa uma linha reta. Normalmente tem constantes e variáveis, que não podem conter expoentes ou raízes, e geralmente é escrita de uma das seguintes maneiras:
Forma de inclinação-ponto
Por exemplo:
Forma de inclinação-intersecção
Por exemplo:
Forma padrão
Por exemplo:
Importante: Nesta forma, e não podem ser ambos zero ().
Embora essas equações possam parecer diferentes, todas representam efetivamente a mesma linha. Se você tiver acesso a uma calculadora gráfica, tente traçar cada equação e comparar os resultados. Os gráficos serão todos iguais!
Sistemas de equações lineares
Às vezes, recebemos duas ou mais equações que podem ser verdadeiras pelas mesmas variáveis.
Por exemplo:
Quando e , ambas as equações são verdadeiras.
Isso é chamado sistemas de equações lineares e podemos encontrar suas variáveis utilizando um dos dois métodos: eliminação e substituição.
Resolvendo por eliminação
Passos principais para resolver um sistema de equações lineares por eliminação:
1. Reescreva as equações para que as variáveis estejam na mesma ordem:
passaria a ser
2. Multiplique uma ou ambas as equações por números diferentes de zero que faria com que um conjunto de termos se anulasse se adicionado ou subtraído:
poderia se tornar
3. Adicione ou subtraia as equações para eliminar sua variável comum:
4. Resolva a equação para isolar a variável restante:
5. Substitua essa variável em uma das equações originais e simplifique para isolar a variável restante:
As variáveis que satisfazem ambas as equações são e or
6. Repita conforme necessário, como quando existem mais de duas equações lineares no sistema.
Resolvendo por substituição
Passos principais para resolver um sistema de equações lineares por substituição:
1. Resolva para ou em uma das equações, isolando a variável:
2. Substitua a variável resultante na outra equação e resolva:
3. Substitua a variável resultante em qualquer uma das equações originais e resolva:
As variáveis que satisfazem ambas as equações são e or
4. Repita conforme necessário, como quando existem mais de duas equações lineares no sistema.
Existem três possíveis tipos de soluções para sistemas de equações lineares:
Sem solução : Não existem variáveis que tornariam todas as equações do sistema verdadeiras. Num gráfico, as linhas representando as equações não se tocam. Se forem equações lineares, essas linhas seriam paralelas entre si.
Uma solução : Existe um conjunto de variáveis que tornaria todas as equações do sistema verdadeiras. Num gráfico, as linhas representando as equações se cruzam uma vez. O ponto onde eles se cruzam é a solução para o sistema.
Soluções infinitas : Existe um número infinito de variáveis que tornaria todas as equações dos sistemas verdadeiras. Isso ocorre quando todas as equações do sistema são as mesmas ou são variações da mesma equação e, portanto, representam a mesma linha.
Outros termos relevantes:
Equações consistentes : duas ou mais equações são consistentes quando compartilham uma ou infinitas soluções. Por exemplo: e são consistentes porque compartilham uma solução .
Equações inconsistentes : duas ou mais equações são inconsistentes quando não compartilham soluções, ou seja, suas linhas não têm pontos em comum. As linhas de equações inconsistentes são paralelas entre si. Por exemplo: e são inconsistentes porque tem um valor diferente em cada equação, o que significa que as equações não compartilham soluções.
Equações independentes : duas ou mais equações são independentes quando representam linhas diferentes.
Equações dependentes : duas ou mais equações são dependentes quando representam a mesma linha, dando a cada equação soluções infinitas. Equações dependentes ocorrem quando uma equação é escrita em diferentes formas. Por exemplo: e representam a mesma linha e, portanto, são dependentes.
Uma equação linear é uma equação que representa uma linha reta. Normalmente tem constantes e variáveis, que não podem conter expoentes ou raízes, e geralmente é escrita de uma das seguintes maneiras:
Forma de inclinação-ponto
Por exemplo:
Forma de inclinação-intersecção
Por exemplo:
Forma padrão
Por exemplo:
Importante: Nesta forma, e não podem ser ambos zero ().
Embora essas equações possam parecer diferentes, todas representam efetivamente a mesma linha. Se você tiver acesso a uma calculadora gráfica, tente traçar cada equação e comparar os resultados. Os gráficos serão todos iguais!
Sistemas de equações lineares
Às vezes, recebemos duas ou mais equações que podem ser verdadeiras pelas mesmas variáveis.
Por exemplo:
Quando e , ambas as equações são verdadeiras.
Isso é chamado sistemas de equações lineares e podemos encontrar suas variáveis utilizando um dos dois métodos: eliminação e substituição.
Resolvendo por eliminação
Passos principais para resolver um sistema de equações lineares por eliminação:
1. Reescreva as equações para que as variáveis estejam na mesma ordem:
passaria a ser
2. Multiplique uma ou ambas as equações por números diferentes de zero que faria com que um conjunto de termos se anulasse se adicionado ou subtraído:
poderia se tornar
3. Adicione ou subtraia as equações para eliminar sua variável comum:
4. Resolva a equação para isolar a variável restante:
5. Substitua essa variável em uma das equações originais e simplifique para isolar a variável restante:
As variáveis que satisfazem ambas as equações são e or
6. Repita conforme necessário, como quando existem mais de duas equações lineares no sistema.
Resolvendo por substituição
Passos principais para resolver um sistema de equações lineares por substituição:
1. Resolva para ou em uma das equações, isolando a variável:
2. Substitua a variável resultante na outra equação e resolva:
3. Substitua a variável resultante em qualquer uma das equações originais e resolva:
As variáveis que satisfazem ambas as equações são e or
4. Repita conforme necessário, como quando existem mais de duas equações lineares no sistema.
Existem três possíveis tipos de soluções para sistemas de equações lineares:
Sem solução : Não existem variáveis que tornariam todas as equações do sistema verdadeiras. Num gráfico, as linhas representando as equações não se tocam. Se forem equações lineares, essas linhas seriam paralelas entre si.
Uma solução : Existe um conjunto de variáveis que tornaria todas as equações do sistema verdadeiras. Num gráfico, as linhas representando as equações se cruzam uma vez. O ponto onde eles se cruzam é a solução para o sistema.
Soluções infinitas : Existe um número infinito de variáveis que tornaria todas as equações dos sistemas verdadeiras. Isso ocorre quando todas as equações do sistema são as mesmas ou são variações da mesma equação e, portanto, representam a mesma linha.
Outros termos relevantes:
Equações consistentes : duas ou mais equações são consistentes quando compartilham uma ou infinitas soluções. Por exemplo: e são consistentes porque compartilham uma solução .
Equações inconsistentes : duas ou mais equações são inconsistentes quando não compartilham soluções, ou seja, suas linhas não têm pontos em comum. As linhas de equações inconsistentes são paralelas entre si. Por exemplo: e são inconsistentes porque tem um valor diferente em cada equação, o que significa que as equações não compartilham soluções.
Equações independentes : duas ou mais equações são independentes quando representam linhas diferentes.
Equações dependentes : duas ou mais equações são dependentes quando representam a mesma linha, dando a cada equação soluções infinitas. Equações dependentes ocorrem quando uma equação é escrita em diferentes formas. Por exemplo: e representam a mesma linha e, portanto, são dependentes.