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Propriedades de parábolas

Parábola

Uma parábola é uma curva criada por todos os pontos em um gráfico que estão à mesma distância de um dado ponto, o foco, e uma dada linha, a diretriz.

definição

Conceitos importantes:

Forma padrão

Forma padrão de uma parábola horizontal: $x = a y^{2} + b y + c$ ; se $a < 0$ então a parábola abre para a esquerda; se $a > 0$ então a parábola abre para a direita.
Forma padrão de uma parábola vertical: $y = a x^{2} + b x + c$ ; se $a < 0$ então a parábola abre para baixo como uma carranca; se $a > 0$ então a parábola abre para cima como um sorriso.

Forma do vértice
O vértice de uma parábola é geralmente representado por

h

(para a coordenada x) e

k

(para a coordenada y), que podem ser encontrados usando a forma do vértice. Na forma do vértice para parábolas horizontais e verticais,

a

representa uma reflexão ao longo do eixo x e/ou um alongamento ou compressão vertical,

h

representa uma movimentação horizontal (uma mudança para a esquerda ou direita), e

k

representa uma movimentação vertical (uma mudança para cima ou para baixo).

Forma do vértice de uma parábola horizontal: $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , no qual; se $a < 0$ então o vértice está à direita, e a parábola abre para a esquerda; se $a > 0$ então o vértice está à esquerda, e a parábola abre para a direita.
Forma do vértice de uma parábola vertical: $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ; se $a < 0$ então o vértice é o ponto mais alto; se $a > 0$ então o vértice é o ponto mais baixo.

Pontos

Vértice $(h, k)$ : O ponto de origem de uma parábola que está localizado entre a diretriz e o foco. A forma do vértice (veja a Forma do vértice) pode ser usada para encontrar o vértice de parábolas horizontais e verticais.
Foco $(h \pm p, k) (h, k \pm p)$ : O foco de uma parábola é um ponto que está localizado dentro da curva da parábola ao redor do qual a parábola se curva. As distâncias do foco e da diretriz a qualquer ponto na hipérbole são as mesmas.

Linhas, segmentos de linha e eixos

Eixo de simetria: Uma linha que passa pelo vértice de uma parábola, criando duas metades congruentes.
Diretriz: Uma linha que corre perpendicular ao eixo de simetria de uma parábola e paralela ao seu latus reto. A distância do vértice de uma parábola até a sua diretriz é a mesma que a distância do vértice da parábola ao seu foco.
Distância focal $(p)$ : A distância entre o vértice da parábola e o foco. Esta distância é igual à distância entre o vértice da parábola e sua diretriz.
Latus rectum $(4 p)$ : Um segmento de linha localizado dentro da parábola que passa pelo foco da parábola e que é perpendicular ao eixo de simetria da parábola. O comprimento do latus rectum é igual a quatro vezes a distância focal da parábola e pode ser expressado como $4 p$ .