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Propriedades das elipses

Uma elipse é o conjunto de todos os pontos num plano cujas distâncias de dois pontos fixos, chamados focos, somam-se a um valor constante que é igual ao comprimento do eixo maior da elipse.

Por exemplo, digamos que temos um eixo maior que é

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unidades de comprimento. Os focos da elipse sempre estão situados no eixo maior. A própria elipse seria formada por linhas imaginárias de ambos os focos ao mesmo ponto na elipse, tal que seus comprimentos totais sejam igual a

12

, que é o comprimento do eixo maior. As distâncias dessas linhas podem ser

6

6

4

8

1.5

10.5

, ou literalmente qualquer combinação de números positivos racionais que somem

12

, das quais há infinitas.
definição

Forma padrão

Forma padrão de uma elipse horizontal: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Forma padrão de uma elipse vertical: $\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Nota: A equação da forma padrão de uma elipse é composta por duas frações, nas quais

a^{2}

é o maior dos dois denominadores e

b^{2}

é o menor dos dois. A forma padrão de uma elipse requer que o lado direito da equação seja igual a

1

Pontos

Centro $(h, k)$ : O ponto no centro de uma elipse. $h$ representa a coordenada x e $k$ representa a coordenada y.
Vértices: As intersecções do eixo principal com a elipse.
Co-vertices: As intersecções do eixo menor com a elipse.

Linhas, segmentos de linha e eixos

O eixo maior $(2 a)$ : o maior dos dois eixos que compõem uma elipse. Ele vai de um lado da elipse, passa pelo centro e vai até o outro lado da elipse no ponto mais largo.
O eixo menor $(2 b)$ : o menor dos dois eixos que compõem uma elipse. Perpendicular ao eixo maior, começa num lado da elipse, passa pelo centro e vai até o outro lado dela.
Semi-eixo maior $(a)$ : metade do comprimento do eixo maior.
Semi-eixo menor $(b)$ : metade do comprimento do eixo menor.
Distância focal $(f)$ : a distância do centro de uma elipse a um de seus focos. $f = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$
Parâmetro focal $(p)$ : a distância de um foco à diretriz correspondente. $p = \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Diretrizes: Duas linhas fora da elipse que correm perpendicularmente ao eixo maior e são usadas em conjunto com os focos para definir a elipse.
Numa elipse horizontal: $x = h \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$
Numa elipse vertical: $y = k \pm \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}$ .
Latus rectum: Os segmentos de linha que correm perpendicularmente ao eixo maior, através dos focos, de tal forma que seus pontos finais repousam sobre a elipse. Seus comprimentos são iguais a $\frac{2 \cdot b^{2}}{a}$ .

Outras propriedades

Área: $π \cdot a \cdot b$
Excentricidade $(e)$ : Uma medida de quão alongada uma elipse é, definida pela seguinte razão: 1. A distância do centro a qualquer foco para 2. A distância do centro a qualquer vértice: $\frac{\sqrt{(a^{2} - b^{2})}}{a}$
A excentricidade de uma elipse está sempre entre $0$ e $1 (0 < e < 1)$ .

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