Calculadora Tiger Algebra

Uma combinação é uma forma de dispor itens de um conjunto quando a ordem da disposição não é importante. Um exemplo seria escolher três números aleatórios a partir de uma lista de nove. Não seria importante se escolhesses $$1$$ e depois $$7$$ e depois $$4$$ ou se escolhesses $$7$$ e depois $$1$$ e depois $$4$$.
Uma permutação é uma forma de dispor elementos de um conjunto quando a ordem da disposição é importante. Um exemplo seria o código de uma fechadura. Se o código for $$1,7,4$$, então este não pode ser introduzido na ordem $$1,4,7$$ nem $$4,7,1$$ ou qualquer outra.
Enquanto existir mais de um item num conjunto, existirão sempre mais permutações do que combinações.

Tanto as combinações como as permutações podem ocorrer com ou sem repetição, o que significa que contêm um ou mais itens várias vezes ou não. Embora pareça que não faz muita diferença, repetir itens num conjunto altera drasticamente a forma como devemos abordá-lo.

Notações
$$n$$ normalmente representa o número total de itens num conjunto.
$$k$$ normalmente representa o número de itens num subconjunto selecionado.
$$C$$ normalmente representa combinações.
$$P$$ normalmente representa permutações.

$$P\left(n,k\right)$$ representa o número de diferentes permutações de um subconjunto ($$k$$) pertencente a um conjunto maior ($$n$$), podendo ser igualmente escrito como:
IMAGEM EM FALTA
$$C\left(n,k\right)$$ representa o número de diferentes combinações de um subconjunto ($$k$$) pertencente a um conjunto maior ($$n$$), podendo ser igualmente escrito como:
IMAGEM EM FALTA
Por vezes, esta notação também é denominada "n escolhe k".

Fórmulas
Utilizamos a função fatorial ao resolver permutações ou combinações.

Permutações com repetição
$$P\left(n,k\right)=n^k$$
EXEMPLO: quantas permutações diferentes de um subconjunto de $$3$$ de um total de $$9$$ itens existem quando podem ocorrer repetições?
$$P\left(9,3\right)=9^3=729$$

Permutações sem repetição
$$P\left(n,k\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$
EXEMPLO: quantas permutações diferentes de um subconjunto de $$3$$ de um total de $$9$$ itens existem quando não podem ocorrer repetições?
$$P\left(9,3\right)=\frac{9!}{\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{6!}=\frac{9·8·7·6!}{6!}=9·8·7=504$$

Combinações com repetição
$$C\left(n,k\right)=\frac{\left(k+n-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}$$
EXEMPLO: quantas combinações diferentes de um subconjunto de $$3$$ de um total de $$9$$ itens existem quando podem ocorrer repetições?
$$C\left(9,3\right)=\frac{\left(3+9-1\right)!}{3!\left(9-1\right)!}=\frac{11!}{3!·8!}=\frac{11·10·9·8!}{3!·8!}=\frac{11·10·9}{3!}=$$
$$\frac{11·10·9}{3·2·1}=11·5·3=165$$

Combinações sem repetição ligação para este exercício
$$C\left(n,k\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$
EXEMPLO: quantas combinações diferentes de um subconjunto de $$3$$ de um total de $$9$$ itens existem quando não podem ocorrer repetições?
$$C\left(9,3\right)=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}=\frac{9!}{3!·6!}=\frac{9·8·7·6!}{3!·6!}=\frac{9·8·7}{3!}=\frac{9·8·7}{3·2·1}=3·4·7=84$$