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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - \frac{1}{11}, \frac{9}{13}

x=-\frac{1}{11} , \frac{9}{13}

Forma decimal:

x = - 0, 091, 0, 692

x=-0,091 , 0,692

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

$\frac{1}{4} | x - 5 | - | 3 x - 1 | = 0$

Adicionar $| 3 x - 1 |$ a ambos os lados da equação.

$\frac{1}{4} | x - 5 | - | 3 x - 1 | + | 3 x - 1 | = | 3 x - 1 |$

Simplificar a expressão aritmética

$\frac{1}{4} | x - 5 | = | 3 x - 1 |$

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$\frac{1}{4} | x - 5 | = | 3 x - 1 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{4} \| x - 5 \| = \| 3 x - 1 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x - 1)$
$x = - y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (- (3 x - 1))$
$+ x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x - 1)$
$- x = y$	$\frac{1}{4} (- (x - 5)) = (3 x - 1)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{4} \| x - 5 \| = \| 3 x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (3 x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{4} (x - 5) = (- (3 x - 1))$

3. Resolva as duas equações para x

26 passos adicionais

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5) = (3 x - 1)$

Multiplicar as frações:

$\frac{(1 \cdot (x - 5))}{4} = (3 x - 1)$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}) - 3 x = (3 x - 1) - 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{x}{4} - 3 x) + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1) - 3 x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{4} - 3) x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1) - 3 x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{1}{4} + \frac{- 12}{4}) x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1) - 3 x$

Combinar as frações:

$\frac{(1 - 12)}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1) - 3 x$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 1) - 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = (3 x - 3 x) - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4} = - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{- 11}{4} x + \frac{- 5}{4}) + \frac{5}{4} = - 1 + \frac{5}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{(- 5 + 5)}{4} = - 1 + \frac{5}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 11}{4} x + \frac{0}{4} = - 1 + \frac{5}{4}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 11}{4} x + 0 = - 1 + \frac{5}{4}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 11}{4} x = - 1 + \frac{5}{4}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{- 4}{4} + \frac{5}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{(- 4 + 5)}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 11}{4} x = \frac{1}{4}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 11}{4} x) \cdot \frac{4}{- 11} = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 11}{4} x \cdot \frac{- 4}{11} = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 11}{4} \cdot \frac{- 4}{11}) x = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 11 \cdot - 4)}{(4 \cdot 11)} x = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 x = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

$x = (\frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{- 11}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$x = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{11}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(1 \cdot - 4)}{(4 \cdot 11)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{- 1}{11}$

24 passos adicionais

$\frac{1}{4} \cdot (x - 5) = (- (3 x - 1))$

Multiplicar as frações:

$\frac{(1 \cdot (x - 5))}{4} = (- (3 x - 1))$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = (- (3 x - 1))$

Expandir os parêntesis:

$\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4} = - 3 x + 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}) + 3 x = (- 3 x + 1) + 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{x}{4} + 3 x) + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 1) + 3 x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{4} + 3) x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 1) + 3 x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{1}{4} + \frac{12}{4}) x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 1) + 3 x$

Combinar as frações:

$\frac{(1 + 12)}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 1) + 3 x$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 1) + 3 x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = (- 3 x + 3 x) + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4} = 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{13}{4} x + \frac{- 5}{4}) + \frac{5}{4} = 1 + \frac{5}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{13}{4} x + \frac{(- 5 + 5)}{4} = 1 + \frac{5}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{4} x + \frac{0}{4} = 1 + \frac{5}{4}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{13}{4} x + 0 = 1 + \frac{5}{4}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{4} x = 1 + \frac{5}{4}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{13}{4} x = \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{13}{4} x = \frac{(4 + 5)}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{4} x = \frac{9}{4}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{13}{4} x) \cdot \frac{4}{13} = (\frac{9}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{13}{4} \cdot \frac{4}{13}) x = (\frac{9}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(13 \cdot 4)}{(4 \cdot 13)} x = (\frac{9}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{9}{4}) \cdot \frac{4}{13}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(9 \cdot 4)}{(4 \cdot 13)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{9}{13}$

4. Liste as soluções

$x = - \frac{1}{11}, \frac{9}{13}$
(2 solução(ões))

5. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = \frac{1}{4} | x - 5 |$
$y = | 3 x - 1 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

3. Resolva as duas equações para x

4. Liste as soluções

5. Gráfico

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