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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - 12, 0

x=-12 , 0

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$\frac{1}{3} | x - 3 | = \frac{1}{2} | x + 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$
$+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$- x = y$	$\frac{1}{3} (- (x - 3)) = \frac{1}{2} (x + 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\frac{1}{3} \| x - 3 \| = \frac{1}{2} \| x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$\frac{1}{3} (x - 3) = \frac{1}{2} (- (x + 2))$

2. Resolva as duas equações para x

29 passos adicionais

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplicar as frações:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Multiplicar as frações:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (x + 2))}{2}$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + \frac{(1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{x}{2} + 1$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{x}{3} - 1) - \frac{x}{2} = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{x}{3} + \frac{- 1}{2} x) - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 1}{2}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{6} + \frac{- 3}{6}) x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 3)}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = (\frac{x}{2} + 1) - \frac{x}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = (\frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} x) + 1$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{2} x + 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x + 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 0 x + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x - 1 = 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{- 1}{6} x - 1) + 1 = 1 + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 1 + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{6} x = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 1}{6} x) \cdot \frac{6}{- 1} = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 1}{6} \cdot - 6) x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 6)}{6} x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

$x = 2 \cdot \frac{6}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 12$

25 passos adicionais

$\frac{1}{3} \cdot (x - 3) = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplicar as frações:

$\frac{(1 \cdot (x - 3))}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{3} + \frac{- 3}{3} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{x}{3} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(1 \cdot 3)} = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{1}{2} \cdot (- (x + 2))$

Multiplicar as frações:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(1 \cdot (- (x + 2)))}{2}$

Expandir os parêntesis:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{(- x - 2)}{2}$

Quebrar a fração:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{- 2}{2}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(1 \cdot 2)}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{x}{3} - 1 = \frac{- x}{2} - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{x}{3} - 1) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{2} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 3)}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} - 1) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{2} + \frac{1}{2} x) - 1$

Combinar as frações:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{6} \cdot x - 1 = \frac{0}{2} x - 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{5}{6} x - 1 = 0 x - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{5}{6} x - 1 = - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{5}{6} x - 1) + 1 = - 1 + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{5}{6} x = - 1 + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{5}{6} x = 0$

Dividir os dois lados pelo coeficiente:

$x = 0$

3. Liste as soluções

$x = - 12, 0$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = \frac{1}{3} | x - 3 |$
$y = \frac{1}{2} | x + 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

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1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

3. Liste as soluções

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