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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}

y=-\frac{9}{16} , -\frac{15}{32}

Forma decimal:

y = - 0, 562, - 0, 469

y=-0,562 , -0,469

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| y + \frac{1}{2} | = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$- x = y$	$- (y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| y + \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

2. Resolva as duas equações para y

27 passos adicionais

$(y + \frac{1}{2}) = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Subtrair de ambos os lados:

$(y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(y + \frac{- 1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{3}{3} + \frac{- 1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combinar as frações:

$\frac{(3 - 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{1}{8}) - \frac{1}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{3} y) + \frac{1}{8}$

Combinar as frações:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(1 - 1)}{3} y + \frac{1}{8}$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{1}{8}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{1}{8}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{2}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{2}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{2}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{2}{3} y + 0 = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{2}{3} y = (\frac{1}{8}) - \frac{1}{2}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplicar os denominadores:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplicar os numeradores:

$\frac{2}{3} y = \frac{1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combinar as frações:

$\frac{2}{3} y = \frac{(1 - 4)}{8}$

Combinar os numeradores:

$\frac{2}{3} y = \frac{- 3}{8}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{2}{3} y) \cdot \frac{3}{2} = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}) y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(2 \cdot 3)}{(3 \cdot 2)} y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Simplificar a fração:

$y = (\frac{- 3}{8}) \cdot \frac{3}{2}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 3 \cdot 3)}{(8 \cdot 2)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{- 9}{(8 \cdot 2)}$

$y = \frac{- 9}{16}$

28 passos adicionais

$(y + \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{3} y + \frac{1}{8})$

Expandir os parêntesis:

$(y + \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Adicionar em ambos os lados:

$(y + \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot y = (\frac{- 1}{3} y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(y + \frac{1}{3} \cdot y) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{3}{3} + \frac{1}{3}) y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combinar as frações:

$\frac{(3 + 1)}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{- 1}{8}) + \frac{1}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3} \cdot y + \frac{1}{3} y) + \frac{- 1}{8}$

Combinar as frações:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{3} \cdot y + \frac{1}{2} = \frac{0}{3} y + \frac{- 1}{8}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = 0 y + \frac{- 1}{8}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{4}{3} y + \frac{1}{2} = \frac{- 1}{8}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{4}{3} y + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{4}{3} y + \frac{(1 - 1)}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{3} y + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{4}{3} y + 0 = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{4}{3} y = (\frac{- 1}{8}) - \frac{1}{2}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}$

Multiplicar os denominadores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}$

Multiplicar os numeradores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 1}{8} + \frac{- 4}{8}$

Combinar as frações:

$\frac{4}{3} y = \frac{(- 1 - 4)}{8}$

Combinar os numeradores:

$\frac{4}{3} y = \frac{- 5}{8}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{4}{3} y) \cdot \frac{3}{4} = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}) y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(4 \cdot 3)}{(3 \cdot 4)} y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Simplificar a fração:

$y = (\frac{- 5}{8}) \cdot \frac{3}{4}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 5 \cdot 3)}{(8 \cdot 4)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{- 15}{(8 \cdot 4)}$

$y = \frac{- 15}{32}$

3. Liste as soluções

$y = - \frac{9}{16}, - \frac{15}{32}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | y + \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{3} y + \frac{1}{8} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para y

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4. Gráfico

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