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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - 3, \frac{5}{3}

x=-3 , \frac{5}{3}

Forma de número misto:

x = - 3, 1 \frac{2}{3}

x=-3 , 1\frac{2}{3}

Forma decimal:

x = - 3, 1, 667

x=-3 , 1,667

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| x - \frac{1}{2} | = | \frac{1}{2} x - 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$
$+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$- x = y$	$- (x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x - \frac{1}{2} \| = \| \frac{1}{2} x - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x - \frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

2. Resolva as duas equações para x

24 passos adicionais

$(x + \frac{- 1}{2}) = (\frac{1}{2} x - 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(x + \frac{- 1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{2}{2} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x - 2) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(1 - 1)}{2} x - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2} = - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{1}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} x + \frac{0}{2} = - 2 + \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{2} x + 0 = - 2 + \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{2} x = - 2 + \frac{1}{2}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 4}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{1}{2} x = \frac{(- 4 + 1)}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 3}{2}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{2} x) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 3}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 3 \cdot 2)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 3$

25 passos adicionais

$(x + \frac{- 1}{2}) = - (\frac{1}{2} x - 2)$

Expandir os parêntesis:

$(x + \frac{- 1}{2}) = \frac{- 1}{2} x + 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 1)}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + 2) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} = \frac{0}{2} x + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 0 x + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2} = 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{3}{2} x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{2} x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{2} x + \frac{0}{2} = 2 + \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{2} x + 0 = 2 + \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{2} x = 2 + \frac{1}{2}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{3}{2} x = \frac{4}{2} + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{2} x = \frac{(4 + 1)}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{2} x = \frac{5}{2}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{2} x) \cdot \frac{2}{3} = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}) x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)} x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{5}{2}) \cdot \frac{2}{3}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(5 \cdot 2)}{(2 \cdot 3)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{5}{3}$

3. Liste as soluções

$x = - 3, \frac{5}{3}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | x - \frac{1}{2} |$
$y = | \frac{1}{2} x - 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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