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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = \frac{13}{15}, \frac{7}{45}

x=\frac{13}{15} , \frac{7}{45}

Forma decimal:

x = 0, 867, 0, 156

x=0,867 , 0,156

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| x + \frac{1}{5} | = | 2 x - \frac{2}{3} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{5} \| = \| 2 x - \frac{2}{3} \|$
$x = + y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$x = - y$	$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x - \frac{2}{3})$
$+ x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$- x = y$	$- (x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{5} \| = \| 2 x - \frac{2}{3} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = (2 x - \frac{2}{3})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x - \frac{2}{3})$

2. Resolva as duas equações para x

17 passos adicionais

$(x + \frac{1}{5}) = (2 x + \frac{- 2}{3})$

Subtrair de ambos os lados:

$(x + \frac{1}{5}) - 2 x = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x - 2 x) + \frac{1}{5} = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + \frac{1}{5} = (2 x + \frac{- 2}{3}) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$- x + \frac{1}{5} = (2 x - 2 x) + \frac{- 2}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + \frac{1}{5} = \frac{- 2}{3}$

Subtrair de ambos os lados:

$(- x + \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combinar as frações:

$- x + \frac{(1 - 1)}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combinar os numeradores:

$- x + \frac{0}{5} = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Reduzir o numerador zero:

$- x + 0 = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x = (\frac{- 2}{3}) - \frac{1}{5}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$- x = \frac{(- 2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$- x = \frac{(- 2 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{15}$

Multiplicar os numeradores:

$- x = \frac{- 10}{15} + \frac{- 3}{15}$

Combinar as frações:

$- x = \frac{(- 10 - 3)}{15}$

Combinar os numeradores:

$- x = \frac{- 13}{15}$

Multiplicar ambos os lados por :

$- x \cdot - 1 = (\frac{- 13}{15}) \cdot - 1$

Remover o(s) um(ns):

$x = (\frac{- 13}{15}) \cdot - 1$

Remover o(s) um(ns):

$x = \frac{13}{15}$

19 passos adicionais

$(x + \frac{1}{5}) = - (2 x + \frac{- 2}{3})$

Expandir os parêntesis:

$(x + \frac{1}{5}) = - 2 x + \frac{2}{3}$

Adicionar em ambos os lados:

$(x + \frac{1}{5}) + 2 x = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x + 2 x) + \frac{1}{5} = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x + \frac{1}{5} = (- 2 x + \frac{2}{3}) + 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$3 x + \frac{1}{5} = (- 2 x + 2 x) + \frac{2}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x + \frac{1}{5} = \frac{2}{3}$

Subtrair de ambos os lados:

$(3 x + \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combinar as frações:

$3 x + \frac{(1 - 1)}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Combinar os numeradores:

$3 x + \frac{0}{5} = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Reduzir o numerador zero:

$3 x + 0 = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x = (\frac{2}{3}) - \frac{1}{5}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$3 x = \frac{(2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$3 x = \frac{(2 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{15}$

Multiplicar os numeradores:

$3 x = \frac{10}{15} + \frac{- 3}{15}$

Combinar as frações:

$3 x = \frac{(10 - 3)}{15}$

Combinar os numeradores:

$3 x = \frac{7}{15}$

Dividir ambos os lados por :

$\frac{(3 x)}{3} = \frac{(\frac{7}{15})}{3}$

Simplificar a fração:

$x = \frac{(\frac{7}{15})}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{7}{(15 \cdot 3)}$

$x = \frac{7}{45}$

3. Liste as soluções

$x = \frac{13}{15}, \frac{7}{45}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | x + \frac{1}{5} |$
$y = | 2 x - \frac{2}{3} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

3. Liste as soluções

4. Gráfico

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