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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 0, - \frac{4}{27}

x=0 , -\frac{4}{27}

Forma decimal:

x = 0, - 0.148

x=0 , -0.148

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| x + \frac{1}{12} | = | \frac{1}{8} x + \frac{1}{12} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{12} \| = \| \frac{1}{8} x + \frac{1}{12} \|$
$x = + y$	$(x + \frac{1}{12}) = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$
$x = - y$	$(x + \frac{1}{12}) = - (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$
$+ x = y$	$(x + \frac{1}{12}) = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$
$- x = y$	$- (x + \frac{1}{12}) = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| x + \frac{1}{12} \| = \| \frac{1}{8} x + \frac{1}{12} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(x + \frac{1}{12}) = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(x + \frac{1}{12}) = - (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$

2. Resolva as duas equações para x

19 passos adicionais

$(x + \frac{1}{12}) = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$

Subtrair de ambos os lados:

$(x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} \cdot x = (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x + \frac{- 1}{8} \cdot x) + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{- 1}{8}) x + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{8}{8} + \frac{- 1}{8}) x + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Combinar as frações:

$\frac{(8 - 1)}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{8} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{8} x) + \frac{1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = \frac{(1 - 1)}{8} x + \frac{1}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = \frac{0}{8} x + \frac{1}{12}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{8} x + \frac{1}{12} = 0 x + \frac{1}{12}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{8} x + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{7}{8} x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{12} = (\frac{1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{8} x + \frac{(1 - 1)}{12} = (\frac{1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{8} x + \frac{0}{12} = (\frac{1}{12}) - \frac{1}{12}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{8} x + 0 = (\frac{1}{12}) - \frac{1}{12}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{8} x = (\frac{1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{8} x = \frac{(1 - 1)}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{8} x = \frac{0}{12}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{8} x = 0$

Dividir os dois lados pelo coeficiente:

$x = 0$

27 passos adicionais

$(x + \frac{1}{12}) = - (\frac{1}{8} x + \frac{1}{12})$

Expandir os parêntesis:

$(x + \frac{1}{12}) = \frac{- 1}{8} x + \frac{- 1}{12}$

Adicionar em ambos os lados:

$(x + \frac{1}{12}) + \frac{1}{8} \cdot x = (\frac{- 1}{8} x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(x + \frac{1}{8} \cdot x) + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Agrupar coeficientes:

$(1 + \frac{1}{8}) x + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}) x + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Combinar as frações:

$\frac{(8 + 1)}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{- 1}{12}) + \frac{1}{8} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{9}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} x) + \frac{- 1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{9}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = \frac{(- 1 + 1)}{8} x + \frac{- 1}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{8} \cdot x + \frac{1}{12} = \frac{0}{8} x + \frac{- 1}{12}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{9}{8} x + \frac{1}{12} = 0 x + \frac{- 1}{12}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{8} x + \frac{1}{12} = \frac{- 1}{12}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{9}{8} x + \frac{1}{12}) - \frac{1}{12} = (\frac{- 1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{9}{8} x + \frac{(1 - 1)}{12} = (\frac{- 1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{8} x + \frac{0}{12} = (\frac{- 1}{12}) - \frac{1}{12}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{9}{8} x + 0 = (\frac{- 1}{12}) - \frac{1}{12}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{8} x = (\frac{- 1}{12}) - \frac{1}{12}$

Combinar as frações:

$\frac{9}{8} x = \frac{(- 1 - 1)}{12}$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{8} x = \frac{- 2}{12}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$\frac{9}{8} x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(6 \cdot 2)}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$\frac{9}{8} x = \frac{- 1}{6}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{9}{8} x) \cdot \frac{8}{9} = (\frac{- 1}{6}) \cdot \frac{8}{9}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{9}{8} \cdot \frac{8}{9}) x = (\frac{- 1}{6}) \cdot \frac{8}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 8)}{(8 \cdot 9)} x = (\frac{- 1}{6}) \cdot \frac{8}{9}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 1}{6}) \cdot \frac{8}{9}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 1 \cdot 8)}{(6 \cdot 9)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{- 4}{(3 \cdot 9)}$

$x = \frac{- 4}{27}$

3. Liste as soluções

$x = 0, - \frac{4}{27}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | x + \frac{1}{12} |$
$y = | \frac{1}{8} x + \frac{1}{12} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

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2. Resolva as duas equações para x

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