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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}

x=\frac{100}{9} , -\frac{140}{33}

Forma de número misto:

x = 11 \frac{1}{9}, - 4 \frac{8}{33}

x=11\frac{1}{9} , -4\frac{8}{33}

Forma decimal:

x = 11, 111, - 4, 242

x=11,111 , -4,242

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Resolva as duas equações para x

27 passos adicionais

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{7}{8} + \frac{(- 1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{7}{8} + \frac{- 4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(7 - 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combinar as frações:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x + 5$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{8} x + \frac{5}{6} = 5$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{3}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{8} x + \frac{0}{6} = 5 - \frac{5}{6}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{8} x + 0 = 5 - \frac{5}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{8} x = 5 - \frac{5}{6}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{3}{8} x = \frac{30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{8} x = \frac{(30 - 5)}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{8} x = \frac{25}{6}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{8} x) \cdot \frac{8}{3} = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 8)}{(8 \cdot 3)} x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{25}{6}) \cdot \frac{8}{3}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(25 \cdot 8)}{(6 \cdot 3)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{100}{(3 \cdot 3)}$

$x = \frac{100}{9}$

28 passos adicionais

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{5}{6}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{7}{8} x + \frac{5}{6}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{8} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{8} + \frac{1}{2}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{(2 \cdot 4)}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{7}{8} + \frac{(1 \cdot 4)}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{7}{8} + \frac{4}{8}) x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(7 + 4)}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combinar as frações:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{8} \cdot x + \frac{5}{6} = \frac{0}{2} x - 5$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = 0 x - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{11}{8} x + \frac{5}{6} = - 5$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{11}{8} x + \frac{5}{6}) - \frac{5}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{11}{8} x + \frac{(5 - 5)}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{8} x + \frac{0}{6} = - 5 - \frac{5}{6}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{11}{8} x + 0 = - 5 - \frac{5}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{11}{8} x = - 5 - \frac{5}{6}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 30}{6} + \frac{- 5}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{11}{8} x = \frac{(- 30 - 5)}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{8} x = \frac{- 35}{6}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{11}{8} x) \cdot \frac{8}{11} = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{11}{8} \cdot \frac{8}{11}) x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(11 \cdot 8)}{(8 \cdot 11)} x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 35}{6}) \cdot \frac{8}{11}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 35 \cdot 8)}{(6 \cdot 11)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{- 140}{(3 \cdot 11)}$

$x = \frac{- 140}{33}$

3. Liste as soluções

$x = \frac{100}{9}, - \frac{140}{33}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{7}{8} x + \frac{5}{6} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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