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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

k = - \frac{20}{3}, - \frac{20}{19}

k=-\frac{20}{3} , -\frac{20}{19}

Forma de número misto:

k = - 6 \frac{2}{3}, - 1 \frac{1}{19}

k=-6\frac{2}{3} , -1\frac{1}{19}

Forma decimal:

k = - 6, 667, - 1, 053

k=-6,667 , -1,053

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{7}{5} k + 4 | = | \frac{1}{2} k - 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{5} k + 4 \| = \| \frac{1}{2} k - 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$x = - y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$
$+ x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$- x = y$	$- (\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{7}{5} k + 4 \| = \| \frac{1}{2} k - 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$

2. Resolva as duas equações para k

21 passos adicionais

$(\frac{7}{5} \cdot k + 4) = (\frac{1}{2} k - 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{7}{5} k + 4) - \frac{1}{2} \cdot k = (\frac{1}{2} k - 2) - \frac{1}{2} k$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{5} \cdot k + \frac{- 1}{2} \cdot k) + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{5} + \frac{- 1}{2}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{14}{10} + \frac{- 5}{10}) k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Combinar as frações:

$\frac{(14 - 5)}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k - 2) - \frac{1}{2} k$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = (\frac{1}{2} \cdot k + \frac{- 1}{2} k) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = \frac{(1 - 1)}{2} k - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot k + 4 = \frac{0}{2} k - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{9}{10} k + 4 = 0 k - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{10} k + 4 = - 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{9}{10} k + 4) - 4 = - 2 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{10} k = - 2 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{10} k = - 6$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{9}{10} k) \cdot \frac{10}{9} = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9}) k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 10)}{(10 \cdot 9)} k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Simplificar a fração:

$k = - 6 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplicar as frações:

$k = \frac{(- 6 \cdot 10)}{9}$

Simplificar a expressão aritmética:

$k = \frac{- 20}{3}$

22 passos adicionais

$(\frac{7}{5} k + 4) = - (\frac{1}{2} k - 2)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{7}{5} \cdot k + 4) = \frac{- 1}{2} k + 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{7}{5} k + 4) + \frac{1}{2} \cdot k = (\frac{- 1}{2} k + 2) + \frac{1}{2} k$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{5} \cdot k + \frac{1}{2} \cdot k) + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{7}{5} + \frac{1}{2}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(7 \cdot 2)}{10} + \frac{(1 \cdot 5)}{10}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{14}{10} + \frac{5}{10}) k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Combinar as frações:

$\frac{(14 + 5)}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Combinar os numeradores:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + 2) + \frac{1}{2} k$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = (\frac{- 1}{2} \cdot k + \frac{1}{2} k) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = \frac{(- 1 + 1)}{2} k + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{19}{10} \cdot k + 4 = \frac{0}{2} k + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{19}{10} k + 4 = 0 k + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{10} k + 4 = 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{19}{10} k + 4) - 4 = 2 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{10} k = 2 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{10} k = - 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{19}{10} k) \cdot \frac{10}{19} = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{19}{10} \cdot \frac{10}{19}) k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(19 \cdot 10)}{(10 \cdot 19)} k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Simplificar a fração:

$k = - 2 \cdot \frac{10}{19}$

Multiplicar as frações:

$k = \frac{(- 2 \cdot 10)}{19}$

Simplificar a expressão aritmética:

$k = \frac{- 20}{19}$

3. Liste as soluções

$k = - \frac{20}{3}, - \frac{20}{19}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{7}{5} k + 4 |$
$y = | \frac{1}{2} k - 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para k

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