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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = \frac{5}{24}, \frac{1}{36}

x=\frac{5}{24} , \frac{1}{36}

Forma decimal:

x = 0, 208, 0, 028

x=0,208 , 0,028

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + \frac{1}{3} | = 0$

Adicionar $| x + \frac{1}{3} |$ a ambos os lados da equação.

$| 5 x - \frac{1}{2} | - | x + \frac{1}{3} | + | x + \frac{1}{3} | = | x + \frac{1}{3} |$

Simplificar a expressão aritmética

$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + \frac{1}{3} |$

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| 5 x - \frac{1}{2} | = | x + \frac{1}{3} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + \frac{1}{3} \|$
$x = + y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$x = - y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + \frac{1}{3}))$
$+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$- x = y$	$- (5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 5 x - \frac{1}{2} \| = \| x + \frac{1}{3} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(5 x - \frac{1}{2}) = (- (x + \frac{1}{3}))$

3. Resolva as duas equações para x

18 passos adicionais

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = (x + \frac{1}{3})$

Subtrair de ambos os lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) - x = (x + \frac{1}{3}) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x - x) + \frac{- 1}{2} = (x + \frac{1}{3}) - x$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x + \frac{1}{3}) - x$

Agrupar termos semelhantes:

$4 x + \frac{- 1}{2} = (x - x) + \frac{1}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x + \frac{- 1}{2} = \frac{1}{3}$

Adicionar em ambos os lados:

$(4 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$4 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$4 x + \frac{0}{2} = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$4 x + 0 = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$4 x = (\frac{1}{3}) + \frac{1}{2}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$4 x = \frac{(1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$4 x = \frac{(1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}$

Multiplicar os numeradores:

$4 x = \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Combinar as frações:

$4 x = \frac{(2 + 3)}{6}$

Combinar os numeradores:

$4 x = \frac{5}{6}$

Dividir ambos os lados por :

$\frac{(4 x)}{4} = \frac{(\frac{5}{6})}{4}$

Simplificar a fração:

$x = \frac{(\frac{5}{6})}{4}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{5}{(6 \cdot 4)}$

$x = \frac{5}{24}$

19 passos adicionais

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - (x + \frac{1}{3})$

Expandir os parêntesis:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) = - x + \frac{- 1}{3}$

Adicionar em ambos os lados:

$(5 x + \frac{- 1}{2}) + x = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Agrupar termos semelhantes:

$(5 x + x) + \frac{- 1}{2} = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x + \frac{- 1}{3}) + x$

Agrupar termos semelhantes:

$6 x + \frac{- 1}{2} = (- x + x) + \frac{- 1}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x + \frac{- 1}{2} = \frac{- 1}{3}$

Adicionar em ambos os lados:

$(6 x + \frac{- 1}{2}) + \frac{1}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar as frações:

$6 x + \frac{(- 1 + 1)}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Combinar os numeradores:

$6 x + \frac{0}{2} = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$6 x + 0 = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$6 x = (\frac{- 1}{3}) + \frac{1}{2}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$6 x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$6 x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{6} + \frac{(1 \cdot 3)}{6}$

Multiplicar os numeradores:

$6 x = \frac{- 2}{6} + \frac{3}{6}$

Combinar as frações:

$6 x = \frac{(- 2 + 3)}{6}$

Combinar os numeradores:

$6 x = \frac{1}{6}$

Dividir ambos os lados por :

$\frac{(6 x)}{6} = \frac{(\frac{1}{6})}{6}$

Simplificar a fração:

$x = \frac{(\frac{1}{6})}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{1}{(6 \cdot 6)}$

$x = \frac{1}{36}$

4. Liste as soluções

$x = \frac{5}{24}, \frac{1}{36}$
(2 solução(ões))

5. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | 5 x - \frac{1}{2} |$
$y = | x + \frac{1}{3} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

3. Resolva as duas equações para x

4. Liste as soluções

5. Gráfico

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