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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}

x=\frac{44}{3} , -\frac{56}{13}

Forma de número misto:

x = 14 \frac{2}{3}, - 4 \frac{4}{13}

x=14\frac{2}{3} , -4\frac{4}{13}

Forma decimal:

x = 14, 667, - 4, 308

x=14,667 , -4,308

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} | = | \frac{1}{2} x + 5 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$
$+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$- x = y$	$- (\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \| = \| \frac{1}{2} x + 5 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

2. Resolva as duas equações para x

26 passos adicionais

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = (\frac{1}{2} x + 5)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) - \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{1}{2} x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{- 1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{4}{5} + \frac{- 1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{8}{10} + \frac{- 5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(8 - 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + 5) - \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{2} x) + 5$

Combinar as frações:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(1 - 1)}{2} x + 5$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x + 5$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x + 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{10} x + \frac{3}{5} = 5$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{3}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} x + \frac{0}{5} = 5 - \frac{3}{5}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{10} x + 0 = 5 - \frac{3}{5}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{10} x = 5 - \frac{3}{5}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{3}{10} x = \frac{25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combinar as frações:

$\frac{3}{10} x = \frac{(25 - 3)}{5}$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} x = \frac{22}{5}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{10} x) \cdot \frac{10}{3} = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{22}{5}) \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(22 \cdot 10)}{(5 \cdot 3)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{44}{3}$

27 passos adicionais

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) = - (\frac{1}{2} x + 5)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{3}{5}) = \frac{- 1}{2} x - 5$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{4}{5} x + \frac{3}{5}) + \frac{1}{2} \cdot x = (\frac{- 1}{2} x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{4}{5} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot x) + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{4}{5} + \frac{1}{2}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(4 \cdot 2)}{10} + \frac{(1 \cdot 5)}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{8}{10} + \frac{5}{10}) x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(8 + 5)}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x - 5) + \frac{1}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = (\frac{- 1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} x) - 5$

Combinar as frações:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{(- 1 + 1)}{2} x - 5$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{10} \cdot x + \frac{3}{5} = \frac{0}{2} x - 5$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = 0 x - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{10} x + \frac{3}{5} = - 5$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{13}{10} x + \frac{3}{5}) - \frac{3}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combinar as frações:

$\frac{13}{10} x + \frac{(3 - 3)}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{10} x + \frac{0}{5} = - 5 - \frac{3}{5}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{13}{10} x + 0 = - 5 - \frac{3}{5}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{10} x = - 5 - \frac{3}{5}$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 25}{5} + \frac{- 3}{5}$

Combinar as frações:

$\frac{13}{10} x = \frac{(- 25 - 3)}{5}$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{10} x = \frac{- 28}{5}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{13}{10} x) \cdot \frac{10}{13} = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{13}{10} \cdot \frac{10}{13}) x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(13 \cdot 10)}{(10 \cdot 13)} x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 28}{5}) \cdot \frac{10}{13}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 28 \cdot 10)}{(5 \cdot 13)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{- 56}{13}$

3. Liste as soluções

$x = \frac{44}{3}, - \frac{56}{13}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} |$
$y = | \frac{1}{2} x + 5 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

3. Liste as soluções

4. Gráfico

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