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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = - 90, \frac{30}{19}

y=-90 , \frac{30}{19}

Forma de número misto:

y = - 90, 1 \frac{11}{19}

y=-90 , 1\frac{11}{19}

Forma decimal:

y = - 90, 1, 579

y=-90 , 1,579

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{3}{5} y - 4 | = | \frac{2}{3} y + 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y - 4 \| = \| \frac{2}{3} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y - 4 \| = \| \frac{2}{3} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$

2. Resolva as duas equações para y

21 passos adicionais

$(\frac{3}{5} \cdot y - 4) = (\frac{2}{3} y + 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{3}{5} y - 4) - \frac{2}{3} \cdot y = (\frac{2}{3} y + 2) - \frac{2}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{- 2}{3} \cdot y) - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{3}{5} + \frac{- 2}{3}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)} + \frac{(- 2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{15} + \frac{(- 2 \cdot 5)}{15}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{9}{15} + \frac{- 10}{15}) y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Combinar as frações:

$\frac{(9 - 10)}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + 2) - \frac{2}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = (\frac{2}{3} \cdot y + \frac{- 2}{3} y) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = \frac{(2 - 2)}{3} y + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot y - 4 = \frac{0}{3} y + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{15} y - 4 = 0 y + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} y - 4 = 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{- 1}{15} y - 4) + 4 = 2 + 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} y = 2 + 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} y = 6$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 1}{15} y) \cdot \frac{15}{- 1} = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 1}{15} \cdot - 15) y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 15)}{15} y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

$y = 6 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = - 90$

22 passos adicionais

$(\frac{3}{5} y - 4) = - (\frac{2}{3} y + 2)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{3}{5} \cdot y - 4) = \frac{- 2}{3} y - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{3}{5} y - 4) + \frac{2}{3} \cdot y = (\frac{- 2}{3} y - 2) + \frac{2}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{2}{3} \cdot y) - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{3}{5} + \frac{2}{3}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)} + \frac{(2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(3 \cdot 3)}{15} + \frac{(2 \cdot 5)}{15}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{9}{15} + \frac{10}{15}) y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Combinar as frações:

$\frac{(9 + 10)}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y - 2) + \frac{2}{3} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = (\frac{- 2}{3} \cdot y + \frac{2}{3} y) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = \frac{(- 2 + 2)}{3} y - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{19}{15} \cdot y - 4 = \frac{0}{3} y - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{19}{15} y - 4 = 0 y - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{15} y - 4 = - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{19}{15} y - 4) + 4 = - 2 + 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{15} y = - 2 + 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{19}{15} y = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{19}{15} y) \cdot \frac{15}{19} = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{19}{15} \cdot \frac{15}{19}) y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(19 \cdot 15)}{(15 \cdot 19)} y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Simplificar a fração:

$y = 2 \cdot \frac{15}{19}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(2 \cdot 15)}{19}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{30}{19}$

3. Liste as soluções

$y = - 90, \frac{30}{19}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{3}{5} y - 4 |$
$y = | \frac{2}{3} y + 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

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2. Resolva as duas equações para y

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