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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = 60, \frac{100}{27}

y=60 , \frac{100}{27}

Forma de número misto:

y = 60, 3 \frac{19}{27}

y=60 , 3\frac{19}{27}

Forma decimal:

y = 60, 3, 704

y=60 , 3,704

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{3}{5} y + 2 | = | \frac{3}{4} y - 7 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y + 2 \| = \| \frac{3}{4} y - 7 \|$
$x = + y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$x = - y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$
$+ x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$- x = y$	$- (\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{3}{5} y + 2 \| = \| \frac{3}{4} y - 7 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$

2. Resolva as duas equações para y

24 passos adicionais

$(\frac{3}{5} \cdot y + 2) = (\frac{3}{4} y - 7)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{3}{5} y + 2) - \frac{3}{4} \cdot y = (\frac{3}{4} y - 7) - \frac{3}{4} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{- 3}{4} \cdot y) + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{3}{5} + \frac{- 3}{4}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{(5 \cdot 4)} + \frac{(- 3 \cdot 5)}{(4 \cdot 5)}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{20} + \frac{(- 3 \cdot 5)}{20}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{12}{20} + \frac{- 15}{20}) y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Combinar as frações:

$\frac{(12 - 15)}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y - 7) - \frac{3}{4} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = (\frac{3}{4} \cdot y + \frac{- 3}{4} y) - 7$

Combinar as frações:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = \frac{(3 - 3)}{4} y - 7$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 3}{20} \cdot y + 2 = \frac{0}{4} y - 7$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 3}{20} y + 2 = 0 y - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 3}{20} y + 2 = - 7$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 3}{20} y + 2) - 2 = - 7 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 3}{20} y = - 7 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 3}{20} y = - 9$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 3}{20} y) \cdot \frac{20}{- 3} = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 3}{20} y \cdot \frac{- 20}{3} = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 3}{20} \cdot \frac{- 20}{3}) y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 3 \cdot - 20)}{(20 \cdot 3)} y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

$y = - 9 \cdot \frac{20}{- 3}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$y = - 9 \cdot \frac{- 20}{3}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 9 \cdot - 20)}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = 60$

22 passos adicionais

$(\frac{3}{5} y + 2) = - (\frac{3}{4} y - 7)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{3}{5} \cdot y + 2) = \frac{- 3}{4} y + 7$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{3}{5} y + 2) + \frac{3}{4} \cdot y = (\frac{- 3}{4} y + 7) + \frac{3}{4} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{5} \cdot y + \frac{3}{4} \cdot y) + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{3}{5} + \frac{3}{4}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{(5 \cdot 4)} + \frac{(3 \cdot 5)}{(4 \cdot 5)}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(3 \cdot 4)}{20} + \frac{(3 \cdot 5)}{20}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{12}{20} + \frac{15}{20}) y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Combinar as frações:

$\frac{(12 + 15)}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + 7) + \frac{3}{4} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = (\frac{- 3}{4} \cdot y + \frac{3}{4} y) + 7$

Combinar as frações:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = \frac{(- 3 + 3)}{4} y + 7$

Combinar os numeradores:

$\frac{27}{20} \cdot y + 2 = \frac{0}{4} y + 7$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{27}{20} y + 2 = 0 y + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{27}{20} y + 2 = 7$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{27}{20} y + 2) - 2 = 7 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{27}{20} y = 7 - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{27}{20} y = 5$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{27}{20} y) \cdot \frac{20}{27} = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{27}{20} \cdot \frac{20}{27}) y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(27 \cdot 20)}{(20 \cdot 27)} y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Simplificar a fração:

$y = 5 \cdot \frac{20}{27}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(5 \cdot 20)}{27}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{100}{27}$

3. Liste as soluções

$y = 60, \frac{100}{27}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{3}{5} y + 2 |$
$y = | \frac{3}{4} y - 7 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para y

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