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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}

x=\frac{3}{7} , \frac{5}{9}

Forma decimal:

x = 0, 429, 0, 556

x=0,429 , 0,556

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| 2 x - 1 | = \frac{1}{4} | x - 1 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$
$+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$- x = y$	$- (2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x - 1 \| = \frac{1}{4} \| x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x - 1) = \frac{1}{4} (- (x - 1))$

2. Resolva as duas equações para x

23 passos adicionais

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Multiplicar as frações:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (x - 1))}{4}$

Quebrar a fração:

$(2 x - 1) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Subtrair de ambos os lados:

$(2 x - 1) - \frac{x}{4} = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x + \frac{- 1}{4} x) - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{8}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{(8 - 1)}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{4} x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}) - \frac{x}{4}$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = (\frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} x) + \frac{- 1}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{(1 - 1)}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{- 1}{4}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{4} x - 1 = 0 x + \frac{- 1}{4}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{4} x - 1 = \frac{- 1}{4}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{7}{4} x - 1) + 1 = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{4} x = (\frac{- 1}{4}) + 1$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{7}{4} x = \frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{4} x = \frac{(- 1 + 4)}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{4} x = \frac{3}{4}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{7}{4} x) \cdot \frac{4}{7} = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{4} \cdot \frac{4}{7}) x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)} x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{7}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 7)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{3}{7}$

24 passos adicionais

$(2 x - 1) = \frac{1}{4} \cdot (- (x - 1))$

Multiplicar as frações:

$(2 x - 1) = \frac{(1 \cdot (- (x - 1)))}{4}$

Expandir os parêntesis:

$(2 x - 1) = \frac{(- x + 1)}{4}$

Quebrar a fração:

$(2 x - 1) = \frac{- x}{4} + \frac{1}{4}$

Adicionar em ambos os lados:

$(2 x - 1) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x + \frac{1}{4} \cdot x) - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{8}{4} + \frac{1}{4}) x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combinar as frações:

$\frac{(8 + 1)}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = (\frac{- x}{4} + \frac{1}{4} x) + \frac{1}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x + \frac{1}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{4} \cdot x - 1 = \frac{0}{4} x + \frac{1}{4}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{9}{4} x - 1 = 0 x + \frac{1}{4}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{4} x - 1 = \frac{1}{4}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{9}{4} x - 1) + 1 = (\frac{1}{4}) + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{4} x = (\frac{1}{4}) + 1$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{9}{4} x = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Combinar as frações:

$\frac{9}{4} x = \frac{(1 + 4)}{4}$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{4} x = \frac{5}{4}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{9}{4} x) \cdot \frac{4}{9} = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{9}) x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)} x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{5}{4}) \cdot \frac{4}{9}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(5 \cdot 4)}{(4 \cdot 9)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{5}{9}$

3. Liste as soluções

$x = \frac{3}{7}, \frac{5}{9}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | 2 x - 1 |$
$y = \frac{1}{4} | x - 1 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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