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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - 13, - 1

x=-13 , -1

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| 2 x + 5 | = \frac{1}{2} | 3 x - 3 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 x - 3 \|$
$x = + y$	$(2 x + 5) = \frac{1}{2} (3 x - 3)$
$x = - y$	$(2 x + 5) = \frac{1}{2} (- (3 x - 3))$
$+ x = y$	$(2 x + 5) = \frac{1}{2} (3 x - 3)$
$- x = y$	$- (2 x + 5) = \frac{1}{2} (3 x - 3)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| 2 x + 5 \| = \frac{1}{2} \| 3 x - 3 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(2 x + 5) = \frac{1}{2} (3 x - 3)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(2 x + 5) = \frac{1}{2} (- (3 x - 3))$

2. Resolva as duas equações para x

23 passos adicionais

$(2 x + 5) = \frac{1}{2} \cdot (3 x - 3)$

Multiplicar as frações:

$(2 x + 5) = \frac{(1 \cdot (3 x - 3))}{2}$

Quebrar a fração:

$(2 x + 5) = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Subtrair de ambos os lados:

$(2 x + 5) - \frac{3 x}{2} = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x + \frac{- 3}{2} x) + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{- 3}{2}) x + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{4}{2} + \frac{- 3}{2}) x + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{(4 - 3)}{2} x + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} x + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}) - \frac{3 x}{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{1}{2} \cdot x + 5 = (\frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} x) + \frac{- 3}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{1}{2} \cdot x + 5 = \frac{(3 - 3)}{2} x + \frac{- 3}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} \cdot x + 5 = \frac{0}{2} x + \frac{- 3}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{2} x + 5 = 0 x + \frac{- 3}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{2} x + 5 = \frac{- 3}{2}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x + 5) - 5 = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{2} x = (\frac{- 3}{2}) - 5$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{1}{2} x = \frac{(- 3 - 10)}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{2} x = \frac{- 13}{2}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{2} x) \cdot \frac{2}{1} = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot 2) x = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 2)}{2} x = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 13}{2}) \cdot \frac{2}{1}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 13 \cdot 2)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 13$

24 passos adicionais

$(2 x + 5) = \frac{1}{2} \cdot (- (3 x - 3))$

Multiplicar as frações:

$(2 x + 5) = \frac{(1 \cdot (- (3 x - 3)))}{2}$

Expandir os parêntesis:

$(2 x + 5) = \frac{(- 3 x + 3)}{2}$

Quebrar a fração:

$(2 x + 5) = \frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Adicionar em ambos os lados:

$(2 x + 5) + \frac{3}{2} \cdot x = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x + \frac{3}{2} \cdot x) + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Agrupar coeficientes:

$(2 + \frac{3}{2}) x + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{4}{2} + \frac{3}{2}) x + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Combinar as frações:

$\frac{(4 + 3)}{2} \cdot x + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{2} \cdot x + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{7}{2} \cdot x + 5 = (\frac{- 3 x}{2} + \frac{3}{2} x) + \frac{3}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{2} \cdot x + 5 = \frac{(- 3 + 3)}{2} x + \frac{3}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{2} \cdot x + 5 = \frac{0}{2} x + \frac{3}{2}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{2} x + 5 = 0 x + \frac{3}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{2} x + 5 = \frac{3}{2}$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{7}{2} x + 5) - 5 = (\frac{3}{2}) - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{2} x = (\frac{3}{2}) - 5$

Converter o número inteiro numa fração:

$\frac{7}{2} x = \frac{3}{2} + \frac{- 10}{2}$

Combinar as frações:

$\frac{7}{2} x = \frac{(3 - 10)}{2}$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{2} x = \frac{- 7}{2}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{7}{2} x) \cdot \frac{2}{7} = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}) x = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)} x = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{- 7}{2}) \cdot \frac{2}{7}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 7 \cdot 2)}{(2 \cdot 7)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 1$

3. Liste as soluções

$x = - 13, - 1$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | 2 x + 5 |$
$y = \frac{1}{2} | 3 x - 3 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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4. Gráfico

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