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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = - 5, \frac{1}{5}

x=-5 , \frac{1}{5}

Forma decimal:

x = - 5, 0, 2

x=-5 , 0,2

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{9} x - \frac{1}{6} | = | \frac{1}{6} x + \frac{1}{9} |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{9} x - \frac{1}{6} \| = \| \frac{1}{6} x + \frac{1}{9} \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$
$x = - y$	$(\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = - (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$
$+ x = y$	$(\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$
$- x = y$	$- (\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{9} x - \frac{1}{6} \| = \| \frac{1}{6} x + \frac{1}{9} \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{9} x - \frac{1}{6}) = - (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$

2. Resolva as duas equações para x

29 passos adicionais

$(\frac{1}{9} \cdot x + \frac{- 1}{6}) = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{9} x + \frac{- 1}{6}) - \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{9} \cdot x + \frac{- 1}{6} \cdot x) + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{9} + \frac{- 1}{6}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(9 \cdot 2)} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{(6 \cdot 3)}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{18} + \frac{(- 1 \cdot 3)}{18}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{18} + \frac{- 3}{18}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 3)}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 1}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{6} x) + \frac{1}{9}$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = \frac{(1 - 1)}{6} x + \frac{1}{9}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = \frac{0}{6} x + \frac{1}{9}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{18} x + \frac{- 1}{6} = 0 x + \frac{1}{9}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{18} x + \frac{- 1}{6} = \frac{1}{9}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{- 1}{18} x + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{6} = (\frac{1}{9}) + \frac{1}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{18} x + \frac{(- 1 + 1)}{6} = (\frac{1}{9}) + \frac{1}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{18} x + \frac{0}{6} = (\frac{1}{9}) + \frac{1}{6}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{18} x + 0 = (\frac{1}{9}) + \frac{1}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{18} x = (\frac{1}{9}) + \frac{1}{6}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$\frac{- 1}{18} x = \frac{(1 \cdot 2)}{(9 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(6 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$\frac{- 1}{18} x = \frac{(1 \cdot 2)}{18} + \frac{(1 \cdot 3)}{18}$

Multiplicar os numeradores:

$\frac{- 1}{18} x = \frac{2}{18} + \frac{3}{18}$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{18} x = \frac{(2 + 3)}{18}$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{18} x = \frac{5}{18}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 1}{18} x) \cdot \frac{18}{- 1} = (\frac{5}{18}) \cdot \frac{18}{- 1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 1}{18} \cdot - 18) x = (\frac{5}{18}) \cdot \frac{18}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 18)}{18} x = (\frac{5}{18}) \cdot \frac{18}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 x = (\frac{5}{18}) \cdot \frac{18}{- 1}$

$x = (\frac{5}{18}) \cdot \frac{18}{- 1}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(5 \cdot - 18)}{18}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = - 5$

29 passos adicionais

$(\frac{1}{9} x + \frac{- 1}{6}) = - (\frac{1}{6} x + \frac{1}{9})$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{9} \cdot x + \frac{- 1}{6}) = \frac{- 1}{6} x + \frac{- 1}{9}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{9} x + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{6} \cdot x = (\frac{- 1}{6} x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{9} \cdot x + \frac{1}{6} \cdot x) + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(9 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(6 \cdot 3)}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{18} + \frac{(1 \cdot 3)}{18}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{18} + \frac{3}{18}) x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 3)}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{5}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = (\frac{- 1}{6} \cdot x + \frac{1}{6} x) + \frac{- 1}{9}$

Combinar as frações:

$\frac{5}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = \frac{(- 1 + 1)}{6} x + \frac{- 1}{9}$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{18} \cdot x + \frac{- 1}{6} = \frac{0}{6} x + \frac{- 1}{9}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{5}{18} x + \frac{- 1}{6} = 0 x + \frac{- 1}{9}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{5}{18} x + \frac{- 1}{6} = \frac{- 1}{9}$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{5}{18} x + \frac{- 1}{6}) + \frac{1}{6} = (\frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6}$

Combinar as frações:

$\frac{5}{18} x + \frac{(- 1 + 1)}{6} = (\frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6}$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{18} x + \frac{0}{6} = (\frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6}$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{5}{18} x + 0 = (\frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{5}{18} x = (\frac{- 1}{9}) + \frac{1}{6}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$\frac{5}{18} x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{(9 \cdot 2)} + \frac{(1 \cdot 3)}{(6 \cdot 3)}$

Multiplicar os denominadores:

$\frac{5}{18} x = \frac{(- 1 \cdot 2)}{18} + \frac{(1 \cdot 3)}{18}$

Multiplicar os numeradores:

$\frac{5}{18} x = \frac{- 2}{18} + \frac{3}{18}$

Combinar as frações:

$\frac{5}{18} x = \frac{(- 2 + 3)}{18}$

Combinar os numeradores:

$\frac{5}{18} x = \frac{1}{18}$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{5}{18} x) \cdot \frac{18}{5} = (\frac{1}{18}) \cdot \frac{18}{5}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{5}{18} \cdot \frac{18}{5}) x = (\frac{1}{18}) \cdot \frac{18}{5}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(5 \cdot 18)}{(18 \cdot 5)} x = (\frac{1}{18}) \cdot \frac{18}{5}$

Simplificar a fração:

$x = (\frac{1}{18}) \cdot \frac{18}{5}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(1 \cdot 18)}{(18 \cdot 5)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{1}{5}$

3. Liste as soluções

$x = - 5, \frac{1}{5}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{9} x - \frac{1}{6} |$
$y = | \frac{1}{6} x + \frac{1}{9} |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

3. Liste as soluções

4. Gráfico

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