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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 45, - \frac{105}{11}

x=45 , -\frac{105}{11}

Forma de número misto:

x = 45, - 9 \frac{6}{11}

x=45 , -9\frac{6}{11}

Forma decimal:

x = 45, - 9.545

x=45 , -9.545

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{3} x + 5 | = | \frac{2}{5} x + 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{3} x + 5 \| = \| \frac{2}{5} x + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

2. Resolva as duas equações para x

21 passos adicionais

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = (\frac{2}{5} x + 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{3} x + 5) - \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{2}{5} x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{- 2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{- 2}{5}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(- 2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{15} + \frac{- 6}{15}) x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combinar as frações:

$\frac{(5 - 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + 2) - \frac{2}{5} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = (\frac{2}{5} \cdot x + \frac{- 2}{5} x) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{(2 - 2)}{5} x + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 1}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 0 x + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} x + 5 = 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 1}{15} x + 5) - 5 = 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} x = 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 1}{15} x = - 3$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 1}{15} x) \cdot \frac{15}{- 1} = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 1}{15} \cdot - 15) x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 1 \cdot - 15)}{15} x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

$x = - 3 \cdot \frac{15}{- 1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 45$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{3} x + 5) = - (\frac{2}{5} x + 2)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{3} \cdot x + 5) = \frac{- 2}{5} x - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{3} x + 5) + \frac{2}{5} \cdot x = (\frac{- 2}{5} x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{3} \cdot x + \frac{2}{5} \cdot x) + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(3 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 3)}{(5 \cdot 3)}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{15} + \frac{(2 \cdot 3)}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{15} + \frac{6}{15}) x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combinar as frações:

$\frac{(5 + 6)}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x - 2) + \frac{2}{5} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = (\frac{- 2}{5} \cdot x + \frac{2}{5} x) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{(- 2 + 2)}{5} x - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{11}{15} \cdot x + 5 = \frac{0}{5} x - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{11}{15} x + 5 = 0 x - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{11}{15} x + 5 = - 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{11}{15} x + 5) - 5 = - 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{11}{15} x = - 2 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{11}{15} x = - 7$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{11}{15} x) \cdot \frac{15}{11} = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{11}{15} \cdot \frac{15}{11}) x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(11 \cdot 15)}{(15 \cdot 11)} x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Simplificar a fração:

$x = - 7 \cdot \frac{15}{11}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(- 7 \cdot 15)}{11}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = \frac{- 105}{11}$

3. Liste as soluções

$x = 45, - \frac{105}{11}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{3} x + 5 |$
$y = | \frac{2}{5} x + 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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