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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

z = - \frac{12}{7}, - \frac{96}{13}

z=-\frac{12}{7} , -\frac{96}{13}

Forma de número misto:

z = - 1 \frac{5}{7}, - 7 \frac{5}{13}

z=-1\frac{5}{7} , -7\frac{5}{13}

Forma decimal:

z = - 1, 714, - 7, 385

z=-1,714 , -7,385

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} z + 7 | = | \frac{5}{3} z + 9 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 7 \| = \| \frac{5}{3} z + 9 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 7 \| = \| \frac{5}{3} z + 9 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$

2. Resolva as duas equações para z

24 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot z + 7) = (\frac{5}{3} z + 9)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} z + 7) - \frac{5}{3} \cdot z = (\frac{5}{3} z + 9) - \frac{5}{3} z$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot z + \frac{- 5}{3} \cdot z) + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 5}{3}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(- 5 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(- 5 \cdot 2)}{6}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{- 10}{6}) z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Combinar as frações:

$\frac{(3 - 10)}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + 9) - \frac{5}{3} z$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = (\frac{5}{3} \cdot z + \frac{- 5}{3} z) + 9$

Combinar as frações:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = \frac{(5 - 5)}{3} z + 9$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 7}{6} \cdot z + 7 = \frac{0}{3} z + 9$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{- 7}{6} z + 7 = 0 z + 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{6} z + 7 = 9$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 7}{6} z + 7) - 7 = 9 - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{6} z = 9 - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{6} z = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 7}{6} z) \cdot \frac{6}{- 7} = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 7}{6} z \cdot \frac{- 6}{7} = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 7}{6} \cdot \frac{- 6}{7}) z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 7 \cdot - 6)}{(6 \cdot 7)} z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

$z = 2 \cdot \frac{6}{- 7}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$z = 2 \cdot \frac{- 6}{7}$

Multiplicar as frações:

$z = \frac{(2 \cdot - 6)}{7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$z = \frac{- 12}{7}$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} z + 7) = - (\frac{5}{3} z + 9)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot z + 7) = \frac{- 5}{3} z - 9$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} z + 7) + \frac{5}{3} \cdot z = (\frac{- 5}{3} z - 9) + \frac{5}{3} z$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot z + \frac{5}{3} \cdot z) + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{5}{3}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{(2 \cdot 3)} + \frac{(5 \cdot 2)}{(3 \cdot 2)}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 3)}{6} + \frac{(5 \cdot 2)}{6}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{3}{6} + \frac{10}{6}) z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Combinar as frações:

$\frac{(3 + 10)}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z - 9) + \frac{5}{3} z$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = (\frac{- 5}{3} \cdot z + \frac{5}{3} z) - 9$

Combinar as frações:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = \frac{(- 5 + 5)}{3} z - 9$

Combinar os numeradores:

$\frac{13}{6} \cdot z + 7 = \frac{0}{3} z - 9$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{13}{6} z + 7 = 0 z - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{6} z + 7 = - 9$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{13}{6} z + 7) - 7 = - 9 - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{6} z = - 9 - 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{13}{6} z = - 16$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{13}{6} z) \cdot \frac{6}{13} = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{13}{6} \cdot \frac{6}{13}) z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(13 \cdot 6)}{(6 \cdot 13)} z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Simplificar a fração:

$z = - 16 \cdot \frac{6}{13}$

Multiplicar as frações:

$z = \frac{(- 16 \cdot 6)}{13}$

Simplificar a expressão aritmética:

$z = \frac{- 96}{13}$

3. Liste as soluções

$z = - \frac{12}{7}, - \frac{96}{13}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} z + 7 |$
$y = | \frac{5}{3} z + 9 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para z

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