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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

z = \frac{20}{7}, \frac{4}{9}

z=\frac{20}{7} , \frac{4}{9}

Forma de número misto:

z = 2 \frac{6}{7}, \frac{4}{9}

z=2\frac{6}{7} , \frac{4}{9}

Forma decimal:

z = 2, 857, 0, 444

z=2,857 , 0,444

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

$| \frac{1}{2} z + 4 | - | 4 z - 6 | = 0$

Adicionar $| 4 z - 6 |$ a ambos os lados da equação.

$| \frac{1}{2} z + 4 | - | 4 z - 6 | + | 4 z - 6 | = | 4 z - 6 |$

Simplificar a expressão aritmética

$| \frac{1}{2} z + 4 | = | 4 z - 6 |$

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} z + 4 | = | 4 z - 6 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 4 \| = \| 4 z - 6 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (- (4 z - 6))$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} z + 4 \| = \| 4 z - 6 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} z + 4) = (- (4 z - 6))$

3. Resolva as duas equações para z

19 passos adicionais

$(\frac{1}{2} z + 4) = (4 z - 6)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} z + 4) - 4 z = (4 z - 6) - 4 z$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} z - 4 z) + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} - 4) z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 8}{2}) z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Combinar as frações:

$\frac{(1 - 8)}{2} z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Combinar os numeradores:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = (4 z - 6) - 4 z$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = (4 z - 4 z) - 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{2} z + 4 = - 6$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{- 7}{2} z + 4) - 4 = - 6 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{2} z = - 6 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{- 7}{2} z = - 10$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{- 7}{2} z) \cdot \frac{2}{- 7} = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$\frac{- 7}{2} z \cdot \frac{- 2}{7} = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{- 7}{2} \cdot \frac{- 2}{7}) z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(- 7 \cdot - 2)}{(2 \cdot 7)} z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$1 z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

$z = - 10 \cdot \frac{2}{- 7}$

Mova o sinal negativo do denominador para o numerador:

$z = - 10 \cdot \frac{- 2}{7}$

Multiplicar as frações:

$z = \frac{(- 10 \cdot - 2)}{7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$z = \frac{20}{7}$

17 passos adicionais

$(\frac{1}{2} z + 4) = - (4 z - 6)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} z + 4) = - 4 z + 6$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} z + 4) + 4 z = (- 4 z + 6) + 4 z$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} z + 4 z) + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + 4) z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Converter o número inteiro numa fração:

$(\frac{1}{2} + \frac{8}{2}) z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Combinar as frações:

$\frac{(1 + 8)}{2} z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{2} z + 4 = (- 4 z + 6) + 4 z$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{9}{2} z + 4 = (- 4 z + 4 z) + 6$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{2} z + 4 = 6$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{9}{2} z + 4) - 4 = 6 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{2} z = 6 - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{2} z = 2$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{9}{2} z) \cdot \frac{2}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9}) z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 2)}{(2 \cdot 9)} z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Simplificar a fração:

$z = 2 \cdot \frac{2}{9}$

Multiplicar as frações:

$z = \frac{(2 \cdot 2)}{9}$

Simplificar a expressão aritmética:

$z = \frac{4}{9}$

4. Liste as soluções

$z = \frac{20}{7}, \frac{4}{9}$
(2 solução(ões))

5. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} z + 4 |$
$y = | 4 z - 6 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação com um termo de valor absoluto de cada lado

2. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

3. Resolva as duas equações para z

4. Liste as soluções

5. Gráfico

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