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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = 70, \frac{70}{9}

y=70 , \frac{70}{9}

Forma de número misto:

y = 70, 7 \frac{7}{9}

y=70 , 7\frac{7}{9}

Forma decimal:

y = 70, 7, 778

y=70 , 7,778

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} y - 7 | = | \frac{2}{5} y |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y - 7 \| = \| \frac{2}{5} y \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = (\frac{2}{5} y)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} y - 7) = - (\frac{2}{5} y)$

2. Resolva as duas equações para y

19 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = \frac{2}{5} y$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} y - 7) - \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{2}{5} y) - \frac{2}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{- 2}{5} \cdot y) - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 2}{5}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(- 2 \cdot 2)}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{- 4}{10}) y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(5 - 4)}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = (\frac{2}{5} \cdot y) - \frac{2}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{(2 - 2)}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{10} \cdot y - 7 = \frac{0}{5} y$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{10} y - 7 = 0 y$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{10} y - 7 = 0$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{10} y - 7) + 7 = 0 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{10} y = 0 + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{10} y = 7$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{10} y) \cdot \frac{10}{1} = 7 \cdot \frac{10}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{10} \cdot 10) y = 7 \cdot \frac{10}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 10)}{10} y = 7 \cdot \frac{10}{1}$

Simplificar a fração:

$y = 7 \cdot \frac{10}{1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = 70$

19 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot y - 7) = \frac{- 2}{5} y$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} y - 7) + 7 = (\frac{- 2}{5} y) + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{2} \cdot y = (\frac{- 2}{5} y) + 7$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} y) + \frac{2}{5} \cdot y = (\frac{- 2}{5} y + 7) + \frac{2}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{5}) y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(2 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(2 \cdot 2)}{10}) y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{4}{10}) y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(5 + 4)}{10} \cdot y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + 7) + \frac{2}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{9}{10} \cdot y = (\frac{- 2}{5} \cdot y + \frac{2}{5} y) + 7$

Combinar as frações:

$\frac{9}{10} \cdot y = \frac{(- 2 + 2)}{5} y + 7$

Combinar os numeradores:

$\frac{9}{10} \cdot y = \frac{0}{5} y + 7$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{9}{10} y = 0 y + 7$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{9}{10} y = 7$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{9}{10} y) \cdot \frac{10}{9} = 7 \cdot \frac{10}{9}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9}) y = 7 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(9 \cdot 10)}{(10 \cdot 9)} y = 7 \cdot \frac{10}{9}$

Simplificar a fração:

$y = 7 \cdot \frac{10}{9}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(7 \cdot 10)}{9}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{70}{9}$

3. Liste as soluções

$y = 70, \frac{70}{9}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} y - 7 |$
$y = | \frac{2}{5} y |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para y

3. Liste as soluções

4. Gráfico

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