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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

y = - 20, - \frac{100}{7}

y=-20 , -\frac{100}{7}

Forma de número misto:

y = - 20, - 14 \frac{2}{7}

y=-20 , -14\frac{2}{7}

Forma decimal:

y = - 20, - 14.286

y=-20 , -14.286

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} y + 8 | = | \frac{1}{5} y + 2 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y + 8 \| = \| \frac{1}{5} y + 2 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} y + 8 \| = \| \frac{1}{5} y + 2 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$

2. Resolva as duas equações para y

21 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot y + 8) = (\frac{1}{5} y + 2)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} y + 8) - \frac{1}{5} \cdot y = (\frac{1}{5} y + 2) - \frac{1}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{- 1}{5} \cdot y) + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{5}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(- 1 \cdot 2)}{10}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{- 2}{10}) y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(5 - 2)}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + 2) - \frac{1}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = (\frac{1}{5} \cdot y + \frac{- 1}{5} y) + 2$

Combinar as frações:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = \frac{(1 - 1)}{5} y + 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{10} \cdot y + 8 = \frac{0}{5} y + 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{10} y + 8 = 0 y + 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{10} y + 8 = 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{3}{10} y + 8) - 8 = 2 - 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{10} y = 2 - 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{10} y = - 6$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{10} y) \cdot \frac{10}{3} = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3}) y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 10)}{(10 \cdot 3)} y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Simplificar a fração:

$y = - 6 \cdot \frac{10}{3}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 6 \cdot 10)}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = - 20$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} y + 8) = - (\frac{1}{5} y + 2)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot y + 8) = \frac{- 1}{5} y - 2$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} y + 8) + \frac{1}{5} \cdot y = (\frac{- 1}{5} y - 2) + \frac{1}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot y + \frac{1}{5} \cdot y) + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{(2 \cdot 5)} + \frac{(1 \cdot 2)}{(5 \cdot 2)}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 5)}{10} + \frac{(1 \cdot 2)}{10}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{5}{10} + \frac{2}{10}) y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Combinar as frações:

$\frac{(5 + 2)}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y - 2) + \frac{1}{5} y$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = (\frac{- 1}{5} \cdot y + \frac{1}{5} y) - 2$

Combinar as frações:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = \frac{(- 1 + 1)}{5} y - 2$

Combinar os numeradores:

$\frac{7}{10} \cdot y + 8 = \frac{0}{5} y - 2$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{7}{10} y + 8 = 0 y - 2$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{10} y + 8 = - 2$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{7}{10} y + 8) - 8 = - 2 - 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{10} y = - 2 - 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{7}{10} y = - 10$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{7}{10} y) \cdot \frac{10}{7} = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{7}{10} \cdot \frac{10}{7}) y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(7 \cdot 10)}{(10 \cdot 7)} y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Simplificar a fração:

$y = - 10 \cdot \frac{10}{7}$

Multiplicar as frações:

$y = \frac{(- 10 \cdot 10)}{7}$

Simplificar a expressão aritmética:

$y = \frac{- 100}{7}$

3. Liste as soluções

$y = - 20, - \frac{100}{7}$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} y + 8 |$
$y = | \frac{1}{5} y + 2 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

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2. Resolva as duas equações para y

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