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Solução - Equações de valor absoluto

Forma exata:

x = 28, 12

x=28 , 12

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

Use as regras:
$| x | = | y |$ → $x = \pm y$ e $| x | = | y |$ → $\pm x = y$
para escrever todas as quatro opções da equação
$| \frac{1}{2} x - 8 | = | \frac{1}{4} x - 1 |$
sem as barras de valor absoluto:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 8 \| = \| \frac{1}{4} x - 1 \|$
$x = + y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$x = - y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$
$+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$- x = y$	$- (\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$

Quando simplificado, as equações $x = + y$ e $+ x = y$ são as mesmas e as equações $x = - y$ e $- x = y$ são as mesmas, então acabamos com apenas 2 equações:

$\| x \| = \| y \|$	$\| \frac{1}{2} x - 8 \| = \| \frac{1}{4} x - 1 \|$
$x = + y$ , $+ x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$
$x = - y$ , $- x = y$	$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$

2. Resolva as duas equações para x

20 passos adicionais

$(\frac{1}{2} \cdot x - 8) = (\frac{1}{4} x - 1)$

Subtrair de ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 8) - \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{1}{4} x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{- 1}{4} \cdot x) - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{- 1}{4}) x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 - 1)}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x - 1) - \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = (\frac{1}{4} \cdot x + \frac{- 1}{4} x) - 1$

Combinar as frações:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = \frac{(1 - 1)}{4} x - 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{1}{4} \cdot x - 8 = \frac{0}{4} x - 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{1}{4} x - 8 = 0 x - 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x - 8 = - 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{4} x - 8) + 8 = - 1 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x = - 1 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{1}{4} x = 7$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{1}{4} x) \cdot \frac{4}{1} = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{4} \cdot 4) x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(1 \cdot 4)}{4} x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar a fração:

$x = 7 \cdot \frac{4}{1}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 28$

22 passos adicionais

$(\frac{1}{2} x - 8) = - (\frac{1}{4} x - 1)$

Expandir os parêntesis:

$(\frac{1}{2} \cdot x - 8) = \frac{- 1}{4} x + 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{1}{2} x - 8) + \frac{1}{4} \cdot x = (\frac{- 1}{4} x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot x) - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar coeficientes:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar os denominadores:

$(\frac{(1 \cdot 2)}{4} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Multiplicar os numeradores:

$(\frac{2}{4} + \frac{1}{4}) x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Combinar as frações:

$\frac{(2 + 1)}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + 1) + \frac{1}{4} x$

Agrupar termos semelhantes:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = (\frac{- 1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} x) + 1$

Combinar as frações:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = \frac{(- 1 + 1)}{4} x + 1$

Combinar os numeradores:

$\frac{3}{4} \cdot x - 8 = \frac{0}{4} x + 1$

Reduzir o numerador zero:

$\frac{3}{4} x - 8 = 0 x + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x - 8 = 1$

Adicionar em ambos os lados:

$(\frac{3}{4} x - 8) + 8 = 1 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x = 1 + 8$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{3}{4} x = 9$

Multiplicar ambos os lados pela fração inversa :

$(\frac{3}{4} x) \cdot \frac{4}{3} = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Agrupar termos semelhantes:

$(\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}) x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar coeficientes:

$\frac{(3 \cdot 4)}{(4 \cdot 3)} x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Simplificar a fração:

$x = 9 \cdot \frac{4}{3}$

Multiplicar as frações:

$x = \frac{(9 \cdot 4)}{3}$

Simplificar a expressão aritmética:

$x = 12$

3. Liste as soluções

$x = 28, 12$
(2 solução(ões))

4. Gráfico

Cada linha representa a função de um lado da equação:
$y = | \frac{1}{2} x - 8 |$
$y = | \frac{1}{4} x - 1 |$
A equação é verdadeira onde as duas linhas se cruzam.

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enfrentamos valores absolutos quase todos os dias. Por exemplo: Se você anda 3 milhas para a escola, andará também -3 milhas quando volta para casa? A resposta é não porque distâncias usam o valor absoluto. O valor absoluto da distância entre casa e escola é de 3 milhas, para lá ou para cá.
Em suma, os valores absolutos nos ajudam a lidar com conceitos como distância, intervalos de valores possíveis e desvio de um valor estabelecido.

Solução - Equações de valor absoluto

Explicação passo a passo

1. Reescreva a equação sem as barras de valor absoluto

2. Resolva as duas equações para x

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4. Gráfico

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